समीकरणों के एक सिस्टम को कैसे हल करें

विषय

• प्रतिस्थापन द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना
• टिप्स
• उन्मूलन द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान
• रेखांकन द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करना

एक साथ समीकरणों की प्रणाली को हल करना पहली बार में बहुत चुनौतीपूर्ण काम लगता है। मूल्य के लिए एक से अधिक अज्ञात मात्रा के साथ, और स्पष्ट रूप से एक दूसरे से एक चर को अलग करने का बहुत कम तरीका है, यह नए लोगों के लिए बीजगणित के लिए सिरदर्द हो सकता है। हालांकि, समीकरण के समाधान को खोजने के लिए तीन अलग-अलग तरीके हैं, दो के साथ बीजगणित पर अधिक निर्भर करता है और थोड़ा अधिक विश्वसनीय है, और दूसरा सिस्टम को एक ग्राफ पर लाइनों की एक श्रृंखला में बदल देता है।

प्रतिस्थापन द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना

पहले एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करके प्रतिस्थापन द्वारा एक साथ समीकरणों की प्रणाली को हल करें। उदाहरण के रूप में इन समीकरणों का उपयोग करना:

एक्स – y = 5

3_x_ + 2_y_ = 5

साथ काम करने के लिए सबसे सरल समीकरण को फिर से व्यवस्थित करें और इसे दूसरे में डालने के लिए उपयोग करें। इस मामले में, जोड़ना y पहले समीकरण के दोनों पक्षों को देता है:

एक्स = y + 5

के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग करें एक्स एक एकल चर के साथ एक समीकरण का उत्पादन करने के लिए दूसरे समीकरण में। उदाहरण में, यह दूसरा समीकरण बनाता है:

3 × (y + 5) + 2_y_ = 5

3_y_ + 15 + 2_y_ = 5

पाने के लिए समान शब्द लीजिए:

5_y_ + 15 = 5

पुनः व्यवस्था करें और हल करें yदोनों तरफ से 15 घटाकर शुरू करें:

5_y_ = 5 - 15 = 510

दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करके देता है:

y = −10 ÷ 5 = −2




इसलिए y = −2.

शेष चर के लिए इस परिणाम को या तो समीकरण में डालें। चरण 1 के अंत में, आपने पाया कि:

एक्स = y + 5

उस मूल्य का उपयोग करें जिसे आपने पाया है y लेना:

एक्स = −2 + 5 = 3

इसलिए एक्स = 3 और y = −2.

टिप्स

उन्मूलन द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान

हटाने के लिए एक चर खोजने के लिए अपने समीकरणों को देखें:

एक्स – y = 5

3_x_ + 2_y_ = 5

उदाहरण में, आप देख सकते हैं कि एक समीकरण है -y और दूसरे के पास 2_y_ है। यदि आप दूसरे समीकरण में दो बार पहले समीकरण को जोड़ते हैं, तो y शर्तें रद्द हो जाएंगी और y समाप्त हो जाएगा। अन्य मामलों में (जैसे, यदि आप समाप्त करना चाहते थे एक्स), तुम भी एक समीकरण के एक से दूसरे को घटा सकते हैं।

उन्मूलन विधि के लिए इसे तैयार करने के लिए पहले समीकरण को दो से गुणा करें:

2 × (एक्स – y) = 2 × 5




इसलिए

2_x_ - 2_y_ = 10

एक समीकरण को दूसरे से जोड़कर या घटाकर अपने चुने हुए चर को हटा दें। उदाहरण में, पहले समीकरण के नए संस्करण को प्राप्त करने के लिए दूसरे समीकरण में जोड़ें:

3_x_ + 2_y_ + (2_x_ - 2_y_) = 5 + 10

3_x_ + 2_x_ + 2_y_ - 2_y_ = 15

तो इसका मतलब है:

5_x_ = 15

शेष चर के लिए हल करें। उदाहरण में, दोनों पक्षों को प्राप्त करने के लिए 5 से विभाजित करें:

एक्स = 15 ÷ 5 = 3

पहले जैसा।

पिछले दृष्टिकोण की तरह, जब आपके पास एक चर होता है, तो आप इसे या तो अभिव्यक्ति में डाल सकते हैं और दूसरे को खोजने के लिए फिर से व्यवस्था कर सकते हैं। दूसरे समीकरण का उपयोग करना:

3_x_ + 2_y_ = 5

इसलिए, जब से एक्स = 3:

3 × 3 + 2_y_ = 5

9 + 2_य_ = 5

प्राप्त करने के लिए दोनों ओर से 9 घटाएँ:

2_y_ = 5 - 9 = 54

अंत में, पाने के लिए दो से भाग दें:

y = −4 ÷ 2 = −2

रेखांकन द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करना

प्रत्येक समीकरण को रेखांकन और खोजने के लिए न्यूनतम बीजगणित के साथ समीकरणों के सिस्टम को हल करें एक्स तथा y मान जहाँ रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। प्रत्येक समीकरण को ढलान-अवरोधन रूप में परिवर्तित करें (y = mx + ख) प्रथम।

पहला उदाहरण समीकरण है:

एक्स – y = 5

इसे आसानी से परिवर्तित किया जा सकता है। जोड़ना y दोनों पक्षों को और फिर प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों से 5 घटाएँ:

y = एक्स – 5

जिसकी ढलान है म = 1 और ए yकी अवधारणा ख = −5.

दूसरा समीकरण है:

3_x_ + 2_y_ = 5

पाने के लिए दोनों तरफ से 3_x_ घटाएँ:

2_y_ = −3_x_ + 5

फिर ढलान-अवरोधन रूप प्राप्त करने के लिए 2 से भाग दें:

y = =3_x_ / 2 + 5/2

तो यह एक ढलान है म = -3/2 और ए yकी अवधारणा ख = 5/2.

उपयोग y अवरोधन मान और ढलान दोनों रेखाओं को एक ग्राफ पर बनाने के लिए। पहला समीकरण पार करता है y अक्ष पर y = And5, और y मूल्य हर बार 1 से बढ़ जाता है एक्स मान 1 से बढ़ता है। यह रेखा को खींचना आसान बनाता है।

दूसरा समीकरण पार करता है y अक्ष 5/2 = 2.5 पर। यह ढलान नीचे की ओर है, और y हर बार मूल्य 1.5 से घट जाता है एक्स मूल्य 1. से बढ़ जाता है। आप गणना कर सकते हैं y किसी भी बिंदु के लिए मूल्य एक्स यदि यह आसान है तो समीकरण का उपयोग कर अक्ष।

उस बिंदु का पता लगाएँ, जहाँ रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। यह आप दोनों को देता है एक्स तथा y समीकरणों की प्रणाली के समाधान के निर्देशांक।