विषय
- टीएल; डीआर (बहुत लंबा; डिडंट रीड)
- एक जटिल संख्या क्या है?
- जटिल संख्याओं के साथ बीजगणित के लिए बुनियादी नियम
- डिवाइडिंग कॉम्प्लेक्स नंबर
- जटिल संख्याओं को सरल बनाना
बीजगणित में अक्सर अभिव्यक्ति को सरल करना शामिल होता है, लेकिन कुछ भाव दूसरों की तुलना में अधिक भ्रमित होते हैं। कॉम्प्लेक्स संख्या में मात्रा के रूप में जाना जाता है मैं, संपत्ति के साथ एक "काल्पनिक" संख्या मैं = = − १। यदि आपको एक जटिल संख्या को शामिल करना है, तो यह कठिन लग सकता है, लेकिन बुनियादी नियम जानने के बाद यह एक सरल प्रक्रिया है।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; डिडंट रीड)
जटिल संख्याओं के साथ बीजगणित के नियमों का पालन करके जटिल संख्याओं को सरल बनाएं।
एक जटिल संख्या क्या है?
जटिल संख्याओं को उनके शामिल किए जाने से परिभाषित किया गया है मैं टर्म, जो कि माइनस एक का वर्गमूल है। बुनियादी स्तर के गणित में, नकारात्मक संख्याओं के वर्गमूल वास्तव में मौजूद नहीं होते हैं, लेकिन वे कभी-कभी बीजगणित की समस्याओं में दिखाई देते हैं। एक जटिल संख्या के लिए सामान्य रूप उनकी संरचना को दर्शाता है:
z = ए + द्वि
कहाँ पे z जटिल संख्या को लेबल करता है, ए किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करता है (जिसे "वास्तविक" भाग कहा जाता है), और ख एक अन्य संख्या (जिसे "काल्पनिक" भाग कहा जाता है) का प्रतिनिधित्व करता है, दोनों सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं। तो एक उदाहरण जटिल संख्या है:
z = 2 _4_i_
चूंकि सभी संख्याओं को ऋणात्मक संख्याओं के गुणकों द्वारा दर्शाया जा सकता है मैं, यह सभी जटिल संख्याओं के लिए फॉर्म है। तकनीकी रूप से, एक नियमित संख्या केवल एक जटिल संख्या के विशेष मामले का वर्णन करती है जहां ख = 0, इसलिए सभी संख्याओं को जटिल माना जा सकता है।
जटिल संख्याओं के साथ बीजगणित के लिए बुनियादी नियम
जटिल संख्याओं को जोड़ने और घटाने के लिए, बस वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग-अलग जोड़ना या घटाना। तो जटिल संख्या के लिए z = 2 - 4_i_ और w = 3 + 5_i_, योग है:
z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)
=(2 + 3) + (−4 + 5)मैं
= 5 + 1_i_ = 5 + मैं
संख्याओं को घटाना उसी तरह से काम करता है:
z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)
= (2 − 3) + (−4 − 5)मैं
= =1 - 9_i_
गुणन जटिल संख्याओं के साथ एक और सरल ऑपरेशन है, क्योंकि यह साधारण गुणा की तरह काम करता है, सिवाय इसके कि आपको याद रखना है मैं2 = −1। तो 3_i_ × −4_i_ की गणना करने के लिए:
3_i_ × −4_i_ = −12_i_2
लेकिन जबसे मैं2= =1, तब:
-12_i_2 = −12 ×−1 = 12
पूर्ण जटिल संख्याओं के साथ (उपयोग करके) z = 2 - 4_i_ और w = 3 + 5_i_ फिर से), आप उन्हें उसी तरह से गुणा करेंगे जैसे आप सामान्य संख्याओं के साथ करेंगे (जैसे)ए + ख) (सी + घ), "प्रथम, आंतरिक, बाहरी, अंतिम" (FOIL) विधि का उपयोग करते हुए, (देने के लिए)ए + ख) (सी + घ) = एसी + बीसी + विज्ञापन + bd। आपको बस इतना याद रखना है कि किसी भी उदाहरण को सरल बनाना है मैं2। उदाहरण के लिए:
z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)
= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (_4_i_ × 5_i_)
= 6 --12_i_ + 10_i_ - 20_i_2
= 6 22_i_ + 20 = 26 + 2_i_
डिवाइडिंग कॉम्प्लेक्स नंबर
विभक्त जटिल संख्याओं में भाजक के अंश और हर के गुणन को गुणन के जटिल गुणन द्वारा गुणा करना शामिल है। जटिल संयुग्म का अर्थ है कि साइन में काल्पनिक भाग के साथ जटिल संख्या का संस्करण। के लिए z = 2 - 4_i_, जटिल संयुग्म z = 2 + 4_i_, और के लिए w = 3 + 5_i_, w = 3 −5_i_। समस्या के लिए:
z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)
आवश्यक संयुग्म है w*। इसे देने के लिए अंश और हर को विभाजित करें:
z / w = (2 - 4_i_) (3 i5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)
और फिर आप पिछले अनुभाग के अनुसार काम करते हैं। अंश देता है:
(2 - 4_i_) (3 i5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20 %_i_2
= =14 - 22_i_
और भाजक देता है:
(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ _25_i_2
= 9 + 25 = 34
इसका मतलब है की:
z / w = (.14 - 22_i_) / 34
= 3414/34 - 22_i_ / 34
= 177/17 - 11_i_ / 17
जटिल संख्याओं को सरल बनाना
जटिल अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए ऊपर दिए गए नियमों का उपयोग करें। उदाहरण के लिए:
z = (4 + 2_i_) + (2 - मैं))) ((2 + 2_i _) (2+) मैं))
यह अंश में जोड़ नियम, हर में गुणक नियम और फिर विभाजन को पूरा करके सरल किया जा सकता है। अंश के लिए:
(4 + 2_i_) + (2 - मैं) = 6 + मैं
हर के लिए:
(२ + २_इ _) (२+) मैं) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_2
= (4 - 2) + 6_i_
= 2 + 6_i_
इन वापस जगह में डाल देता है:
z = (6 + मैं) / (2 + 6_i_)
भाजक के संयुग्मन द्वारा दोनों भागों को गुणा करने पर निम्न होता है:
z = (6 + मैं) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)
= (12 + 2_i_ - 36_i_ _6_i_2) / (4 + 12_i_ - 12_i_ _36_i_2)
= (18 - 34_i_) / 40
= (9 - 17_i_) / 20
= 9/20 917_i_ / 20
तो इसका मतलब है z निम्नानुसार सरल करता है:
z = (4 + 2_i_) + (2 - मैं))) ((2 + 2_i _) (2+) मैं)) = 9/20 2017_i_ / 20