यूक्लिडियन दूरी की गणना कैसे करें

यूक्लिडियन दूरी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के बीच की दूरी है। यूक्लिडियन स्थान मूल रूप से ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा लगभग 300 ई.पू. कोणों और दूरियों के बीच संबंधों का अध्ययन करना। ज्यामिति की यह प्रणाली आज भी उपयोग में है और वह है जो हाई स्कूल के छात्रों को सबसे अधिक बार पढ़ती है। यूक्लिडियन ज्यामिति विशेष रूप से दो और तीन आयामों के रिक्त स्थान पर लागू होती है। हालांकि, इसे आसानी से उच्च क्रम आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

एक आयाम के लिए यूक्लिडियन दूरी की गणना करें। एक आयाम में दो बिंदुओं के बीच की दूरी बस उनके निर्देशांक के बीच अंतर का पूर्ण मूल्य है। गणितीय रूप से, इसे निम्न रूप में दिखाया गया है। p1 - q1 | जहाँ p1 पहले बिंदु का पहला समन्वय है और q1 दूसरे बिंदु का पहला समन्वय है। हम इस अंतर के निरपेक्ष मूल्य का उपयोग करते हैं क्योंकि दूरी को आमतौर पर केवल एक गैर-नकारात्मक मूल्य माना जाता है।

दो अंक P और Q को दो आयामी यूक्लिडियन स्पेस में लें। हम निर्देशांक (p1, P2) और Q को निर्देशांक (q1, q2) के साथ P का वर्णन करेंगे। अब P और Q के अंत बिंदुओं के साथ एक रेखा खंड का निर्माण करें। यह रेखा खंड एक सही त्रिकोण का कर्ण बनाएगा। चरण 1 में प्राप्त परिणामों का विस्तार करते हुए, हम ध्यान दें कि इस त्रिकोण के पैरों की लंबाई दी गई है। p1 - q1 | और | P2 - q2 | फिर दो बिंदुओं के बीच की दूरी को कर्ण की लंबाई के रूप में दिया जाएगा।

चरण 2 में कर्ण की लंबाई निर्धारित करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें। यह प्रमेय बताता है कि c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 जहां c एक समकोण त्रिभुज की लंबाई है और a, b दूसरे की लंबाई है दो पैर। यह हमें c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (P2 - q2) ^ 2) ^ (1/2) देता है। दो आयामी अंतरिक्ष में 2 अंक P = (p1, P2) और Q = (q1, q2) के बीच की दूरी इसलिए ((p1 - q1) ^ 2 + (P2 - q2) ^ 2) ^ (1/2) है।




चरण 3 से तीन आयामी अंतरिक्ष के परिणामों का विस्तार करें। बिंदु P = (p1, P2, p3) और Q = (q1, q2, q3) के बीच की दूरी तब दी जा सकती है ((p1-q1) ^ 2 + (P2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2)।

दो आयामों पी = (पी 1, पी 2, ..., पीएन) और क्यू = (क्यू 1, क्यू 2, ..., क्यूएन) के बीच की दूरी के लिए चरण 4 में समाधान को सामान्य करें। यह सामान्य समाधान ((p1-q1) ^ 2 + (P2-q2) ^ 2 + ... (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2) के रूप में दिया जा सकता है।