संयोजन और क्रमपरिवर्तन की गणना कैसे करें

विषय

• आदेश और तथ्य
• पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन
• पुनरावृत्ति के बिना क्रमपरिवर्तन
• पुनरावृत्ति के बिना संयोजन
• पुनरावृत्ति के साथ संयोजन

मान लीजिए कि आपके पास एन प्रकार के आइटम हैं, और आप उनमें से आर के संग्रह का चयन करना चाहते हैं। हम इन वस्तुओं को कुछ विशेष क्रम में चाहते हैं। हम आइटम के इन सेट को क्रमपरिवर्तन कहते हैं। यदि आदेश में कोई बात नहीं है, तो हम संग्रह संयोजनों के सेट को कहते हैं। संयोजन और क्रमपरिवर्तन दोनों के लिए, आप उस मामले पर विचार कर सकते हैं जिसमें आप कुछ n प्रकारों को एक से अधिक बार चुनते हैं, जिसे पुनरावृत्ति कहा जाता है, या जिस मामले में आप प्रत्येक प्रकार को केवल एक बार चुनते हैं, जिसे पुनरावृत्ति नहीं कहा जाता है। लक्ष्य किसी भी स्थिति में संयोजन या क्रमपरिवर्तन की संख्या को गिनने में सक्षम होना है।

आदेश और तथ्य

संयोजन और क्रमपरिवर्तन की गणना करते समय अक्सर फैक्टोरियल फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है। एन! मतलब एन × (एन -1) × ... × 2 × 1। उदाहरण के लिए, 5! = ५ × ४ × ३ × २ × १ = १२०। वस्तुओं के समूह को क्रमबद्ध करने के तरीकों की संख्या एक तथ्य है। तीन अक्षर A, b और c को लें। आपके पास पहले अक्षर के लिए तीन विकल्प हैं, दूसरे के लिए दो और तीसरे के लिए केवल एक। दूसरे शब्दों में, कुल 3 × 2 × 1 = 6 क्रम। सामान्य तौर पर, वहाँ n हैं! n आइटम ऑर्डर करने के तरीके।

पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन

मान लें कि आपके पास तीन कमरे हैं जिन्हें आप पेंट करने जा रहे हैं, और प्रत्येक को पांच रंगों में से एक में रंगा जाएगा: लाल (आर), हरा (जी), नीला (बी), पीला (वाई) या नारंगी (ओ)। आप हर रंग को जितनी बार चाहें चुन सकते हैं। आपके पास पहले कमरे के लिए पांच रंग हैं, दूसरे के लिए पांच और तीसरे के लिए पांच रंग हैं। यह कुल 5 × 5 × 5 = 125 संभावनाएं देता है। सामान्य तौर पर, एन रिप्लेसेबल विकल्पों में से एक विशेष क्रम में आर आइटम के समूह को चुनने के तरीकों की संख्या n ^ r है।

पुनरावृत्ति के बिना क्रमपरिवर्तन

अब मान लीजिए हर कमरा एक अलग रंग का होने जा रहा है। आप पहले कमरे के लिए पांच रंग, दूसरे के लिए चार और तीसरे के लिए सिर्फ तीन से चुन सकते हैं। यह 5 × 4 × 3 = 60 देता है, जो सिर्फ 5 /! 2 होता है। सामान्य तौर पर, गैर-विकल्प योग्य विकल्पों में से एक विशेष क्रम में आर आइटम का चयन करने के लिए स्वतंत्र तरीकों की संख्या n /! (N-n) है!

पुनरावृत्ति के बिना संयोजन

अगला, यह भूल जाओ कि कौन सा कमरा किस रंग का है। रंग योजना के लिए सिर्फ तीन स्वतंत्र रंग चुनें। यह आदेश यहां कोई मायने नहीं रखता है, इसलिए (लाल, हरा, नीला) समान है (लाल, नीला, हरा)। तीन रंगों के किसी भी पिक के लिए 3 हैं! तरीके आप उन्हें आदेश कर सकते हैं। तो आप क्रमचय की संख्या को 3 से कम कर दें! 5 पाने के लिए! / (2! × 3!) = 10. सामान्य तौर पर, आप n / तरीके से n nonppeatable विकल्पों के चयन से किसी भी क्रम में r आइटम का एक समूह चुन सकते हैं।

पुनरावृत्ति के साथ संयोजन

अंत में, आपको एक रंग योजना बनाने की आवश्यकता होती है जिसमें आप किसी भी रंग को जितनी बार चाहें उपयोग कर सकते हैं। एक चतुर बहीखाता कोड इस गिनती कार्य में मदद करता है। कमरों का प्रतिनिधित्व करने के लिए तीन एक्स का उपयोग करें। रंगों की आपकी सूची को rgbyo द्वारा दर्शाया गया है। X को अपनी रंग सूची में मिलाएं, और प्रत्येक X को पहले रंग से बाईं ओर मिलाएं। उदाहरण के लिए, rgXXbyXo का अर्थ है कि पहला कमरा हरा है, दूसरा हरा है और तीसरा पीला है। एक एक्स में बाईं ओर कम से कम एक रंग होना चाहिए, इसलिए पहले एक्स के लिए पांच उपलब्ध स्लॉट हैं। क्योंकि सूची में अब एक एक्स शामिल है, दूसरे एक्स के लिए छह उपलब्ध स्लॉट हैं और तीसरे एक्स के लिए सात उपलब्ध स्लॉट हैं। सभी, 5 × 6 × 7 = 7! / 4 हैं! कोड लिखने के तरीके। हालांकि, कमरों का क्रम मनमाना है, इसलिए वास्तव में केवल 7 हैं! / (4! × 3) अनूठी व्यवस्था। सामान्य तौर पर, आप n (r + r-1) / / तरीकों में n दोहराने योग्य विकल्पों में से किसी भी क्रम में r आइटम चुन सकते हैं।