विषय
एकीकरण कार्य पथरी के मूल अनुप्रयोगों में से एक है। कभी-कभी, यह सीधा है, जैसे:
F (x) = ∫ (x)3 + 8) dx
इस प्रकार के तुलनात्मक रूप से जटिल उदाहरण में, आप अनिश्चित इंटीग्रल्स को एकीकृत करने के लिए मूल सूत्र के एक संस्करण का उपयोग कर सकते हैं:
∫ (x)n + ए) डीएक्स = एक्स(n + 1)/ (n + 1) + An + C,
जहाँ A और C निरंतर हैं।
इस प्रकार इस उदाहरण के लिए,
∫ x3 + 8 = x4/ 4 + 8x + सी।
बेसिक स्क्वायर रूट फ़ंक्शंस का एकीकरण
सतह पर, एक वर्गमूल फ़ंक्शन को एकीकृत करना अजीब है। उदाहरण के लिए, आपके द्वारा स्तब्ध किया जा सकता है:
एफ (एक्स) = ∫ .x
लेकिन आप एक घातांक के रूप में एक वर्गमूल व्यक्त कर सकते हैं, 1/2:
√ x3 = एक्स3(1/2) = एक्स(3/2)
अभिन्न इसलिए बन जाता है:
∫ (x)3/2 + 2x - 7) डीएक्स
जिसे आप ऊपर से सामान्य सूत्र लागू कर सकते हैं:
= एक्स(5/2)/ (5/2) + 2 (x)2/ 2) - 7x
= (2/5) x(5/2) + x2 - 7x
अधिक जटिल वर्गमूल कार्यों का एकीकरण
कभी-कभी, आपके पास कट्टरपंथी संकेत के तहत एक से अधिक शब्द हो सकते हैं, जैसा कि इस उदाहरण में है:
एफ (एक्स) = ∫ डीएक्स
आगे बढ़ने के लिए आप यू-प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं। यहां, आप हर में मात्रा के बराबर सेट करते हैं:
u = x (x - 3)
दोनों पक्षों को जोड़कर और घटाकर x के लिए इसे हल करें:
यू2 = एक्स - 3
x = यू2 + 3
यह आपको x के व्युत्पन्न लेने से यू के संदर्भ में dx प्राप्त करने की अनुमति देता है:
dx = (2u) डु
मूल अभिन्न में वापस प्रतिस्थापित करता है
एफ (एक्स) = ∫ (यू)2 + 3 + 1) / udu
= ∫du
= = (2u)2 + 8) डु
अब आप इसे x के संदर्भ में मूल सूत्र का उपयोग करके और इसे व्यक्त करके एकीकृत कर सकते हैं:
U (2u)2 + 8) डु = (2/3) यू3 + 8u + सी
= (2/3) 3 + 8 + C
= (2/3) (x - 3)(3/2) + 8 (x - 3)(1/2) + सी