एक बहुपद की जड़ें कैसे खोजें

विषय

• कितनी जड़ें?
• चेतावनी
• फैक्टरिंग द्वारा जड़ें खोजें: उदाहरण 1
• फैक्टरिंग द्वारा जड़ें खोजें: उदाहरण 2
• रेखांकन द्वारा जड़ों का पता लगाएं

एक बहुपद की जड़ों को इसके शून्य भी कहा जाता है, क्योंकि जड़ें हैं एक्स मान जिस पर फ़ंक्शन शून्य के बराबर है। जब वास्तव में जड़ों को खोजने की बात आती है, तो आपके पास अपने निपटान में कई तकनीकें हैं; फैक्टरिंग वह विधि है जिसका आप सबसे अधिक बार उपयोग करते हैं, हालांकि रेखांकन भी उपयोगी हो सकता है।

कितनी जड़ें?

बहुपद के उच्चतम-अवधि शब्द का परीक्षण करें - अर्थात, उच्चतम घातांक वाला शब्द। यह प्रतिपादक कितनी जड़ें बहुपद होगा। इसलिए यदि आपके बहुपद में उच्चतम घातांक 2 है, तो इसकी दो जड़ें हैं; यदि उच्चतम घातांक 3 है, itll की तीन जड़ें हैं; और इसी तरह।

चेतावनी

फैक्टरिंग द्वारा जड़ें खोजें: उदाहरण 1

जड़ों को खोजने का सबसे बहुमुखी तरीका आपके बहुपद को जितना संभव हो उतना फैक्टरिंग करना है, और फिर प्रत्येक शब्द को शून्य के बराबर सेट करना है। कुछ उदाहरणों के माध्यम से आपके द्वारा अनुसरण किए जाने के बाद यह बहुत अधिक समझ में आता है। सरल बहुपद पर विचार करें एक्स² - 4_x: _

एक संक्षिप्त परीक्षा से पता चलता है कि आप कारक हो सकते हैं एक्स बहुपद के दोनों शब्दों में से, जो आपको देता है:

एक्स(एक्स – 4)

प्रत्येक शब्द को शून्य पर सेट करें। इसका मतलब है कि दो समीकरणों के लिए हल करना:

एक्स = 0 शून्य पर सेट पहला शब्द है, और




एक्स - 4 = 0 दूसरा शब्द है जो शून्य पर सेट है।

आपके पास पहले से ही पहले कार्यकाल का हल है। अगर एक्स = 0, तब संपूर्ण अभिव्यक्ति शून्य के बराबर होती है। इसलिए एक्स = 0 बहुपद की जड़ों में से एक या जीरो है।

अब, दूसरे शब्द पर विचार करें और हल करें एक्स। यदि आप दोनों पक्षों में 4 जोड़ते हैं तो आपके पास होगा:

एक्स - 4 + 4 = 0 + 4, जो सरल करता है:

एक्स = 4. तो अगर एक्स = 4 फिर दूसरा कारक शून्य के बराबर है, जिसका अर्थ है कि पूरे बहुपद शून्य के बराबर है।

क्योंकि मूल बहुपद दूसरी डिग्री का था (उच्चतम घातांक दो था), आप जानते हैं कि इस बहुपद के लिए केवल दो संभव जड़ें हैं। Youve पहले से ही उन दोनों को मिला है, इसलिए आपको बस उन्हें सूचीबद्ध करना है:

एक्स = 0, एक्स = 4

फैक्टरिंग द्वारा जड़ें खोजें: उदाहरण 2

रास्ते में कुछ फैंसी बीजगणित का उपयोग करके फैक्टरिंग द्वारा जड़ों को खोजने का एक और उदाहरण है। बहुपद पर विचार करें एक्स⁴ - 16. इसके घातांक पर एक त्वरित नज़र आपको दिखाता है कि इस बहुपद के लिए चार जड़ें होनी चाहिए; अब उन्हें खोजने के लिए समय है।

क्या आपने देखा कि इस बहुपद को वर्गों के अंतर के रूप में फिर से लिखा जा सकता है? इसलिए इसके बजाय एक्स⁴ - 16, आपके पास है:

(एक्स²)² – 4²

वर्गों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित में से कारक:

(एक्स² – 4)(एक्स² + 4)

पहला शब्द है, फिर से, वर्गों का अंतर। इसलिए यद्यपि आप किसी भी आगे दाईं ओर शब्द का कारक नहीं कर सकते हैं, आप बाईं ओर एक कदम और अधिक कर सकते हैं:

(एक्स – 2)(एक्स + 2)(एक्स² + 4)

अब इसका समय शून्य खोजने का है। यह जल्दी से स्पष्ट हो जाता है कि यदि एक्स = 2, पहला कारक शून्य के बराबर होगा, और इस प्रकार संपूर्ण अभिव्यक्ति शून्य के बराबर होगी।

इसी तरह, अगर एक्स = -2, दूसरा कारक शून्य के बराबर होगा और इस प्रकार पूरी अभिव्यक्ति होगी।

इसलिए एक्स = 2 और एक्स = -2 इस बहुपद के दोनों शून्य, या जड़ें हैं।

लेकिन उस अंतिम अवधि के बारे में क्या? क्योंकि इसमें "2" प्रतिपादक है, इसकी दो जड़ें होनी चाहिए। लेकिन आप इस अभिव्यक्ति को वास्तविक संख्या का उपयोग कर सकते हैं, जिसका इस्तेमाल आप कर रहे हैं। Youd को एक बहुत ही उन्नत गणितीय अवधारणा का उपयोग करना है जिसे काल्पनिक संख्याएं कहा जाता है या, यदि आप चाहें, तो जटिल संख्याएं। आपके वर्तमान गणित अभ्यास के दायरे से बहुत दूर, इसलिए अब यह ध्यान देने के लिए पर्याप्त है कि आपके पास दो वास्तविक जड़ें (2 और -2) हैं, और दो काल्पनिक जड़ें जिन्हें आप अपरिभाषित छोड़ देते हैं।

रेखांकन द्वारा जड़ों का पता लगाएं

आप रेखांकन द्वारा जड़ों को भी ढूँढ सकते हैं या कम से कम अनुमान लगा सकते हैं। प्रत्येक रूट एक ऐसे स्थान का प्रतिनिधित्व करता है जहां फ़ंक्शन का ग्राफ पार हो जाता है एक्स एक्सिस। इसलिए यदि आप लाइन का रेखांकन करते हैं और फिर नोट करते हैं एक्स निर्देशांक जहां रेखा पार करती है एक्स अक्ष, आप अनुमानित सम्मिलित कर सकते हैं एक्स अपने समीकरण में उन बिंदुओं के मान और यह देखने के लिए जांचें कि क्या आपने उन्हें सही किया है।

बहुपद के लिए आपके द्वारा काम किए गए पहले उदाहरण पर विचार करें एक्स² - 4_x_। यदि आप इसे सावधानी से खींचते हैं, तो आप देखेंगे कि लाइन पार हो गई है एक्स अक्ष पर एक्स = 0 और एक्स = 4. यदि आप इनमें से प्रत्येक मान को मूल समीकरण में इनपुट करते हैं, तो आपको मिलेगा:

0² - ४ (०) = ०, अतः एक्स = 0 इस बहुपद के लिए एक वैध शून्य या मूल था।

4² - ४ (४) = ०, अतः एक्स = 4 भी इस बहुपद के लिए एक वैध शून्य या मूल है। और क्योंकि बहुपद 2 डिग्री का था, आप जानते हैं कि आप दो जड़ों को ढूंढना बंद कर सकते हैं।