विषय
- आर्क लंबाई और परिधि से केंद्रीय कोण का पता लगाएं
- आर्क लंबाई और त्रिज्या से केंद्रीय कोण का पता लगाएं
- सेंट्रल एंगल प्रमेय
- सेंट्रल एंगल प्रमेय के अपवाद
- कल्पना
कल्पना कीजिए कि आप एक पूरी तरह से गोलाकार क्षेत्र के बीच में खड़े हैं। आप अखाड़े के किनारों पर भीड़ की ओर देखते हैं, और आप अपने सबसे अच्छे दोस्त को एक सीट पर और अपने मिडिल स्कूल के गणित शिक्षक को एक जोड़े को सौंपते हैं। उनके और आपके बीच की दूरी क्या है? अपने दोस्तों की सीट से अपने शिक्षकों की सीट तक यात्रा करने के लिए आपको कितना दूर चलना होगा? आपके बीच के कोणों के उपाय क्या हैं? ये सभी केंद्रीय कोणों से संबंधित प्रश्न हैं।
ए केंद्रीय कोण वह कोण है जो दो रेडिए को वृत्त के केंद्र से उसके किनारों तक खींचते समय बनता है। इस उदाहरण में, दो त्रिज्या आपकी दो रेखाएं हैं जो आपसे, अखाड़े के केंद्र में, आपके मित्र और आपके शिक्षक के लिए आपकी दृष्टि की रेखा हैं। इन दो रेखाओं के बीच का कोण केंद्रीय कोण है। इसका कोण सर्कल के केंद्र के सबसे करीब है।
आपका मित्र और आपका शिक्षक साथ बैठे हैं परिधि या सर्कल के किनारों। अखाड़े के साथ मार्ग जो उन्हें जोड़ता है a चाप.
आर्क लंबाई और परिधि से केंद्रीय कोण का पता लगाएं
केंद्रीय कोण खोजने के लिए आप कुछ समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं। कभी-कभी आपको मिलता है चाप की लम्बाई, दो बिंदुओं के बीच की परिधि के साथ की दूरी। (उदाहरण में, यह वह दूरी है जिसके लिए आपको अपने दोस्त से अपने शिक्षक से मिलने के लिए अखाड़े का चक्कर लगाना होगा।) केंद्रीय कोण और चाप की लंबाई के बीच का संबंध है:
(चाप की लंबाई)) परिधि = (केंद्रीय कोण)। 360 °
केंद्रीय कोण डिग्री में होगा।
यह सूत्र समझ में आता है, अगर आप इसके बारे में सोचते हैं। वृत्त (परिधि) के चारों ओर की कुल लंबाई में से चाप की लंबाई एक वृत्त (360 डिग्री) में कुल कोण से चाप कोण के समान अनुपात है।
इस समीकरण का प्रभावी ढंग से उपयोग करने के लिए, आपको वृत्त की परिधि को जानना होगा। यदि आप केंद्रीय कोण और परिधि को जानते हैं, तो आप इस सूत्र का उपयोग चाप की लंबाई जानने के लिए भी कर सकते हैं। या, यदि आपके पास चाप की लंबाई और केंद्रीय कोण है, तो आप परिधि पा सकते हैं!
आर्क लंबाई और त्रिज्या से केंद्रीय कोण का पता लगाएं
आप केंद्रीय कोण को खोजने के लिए वृत्त की त्रिज्या और चाप की लंबाई का भी उपयोग कर सकते हैं। केंद्रीय कोण के माप को बुलाओ central। फिर:
θ = एस ÷ आर, जहां s चाप की लंबाई है और r त्रिज्या है। θ रेडियन में मापा जाता है।
फिर, आप इस समीकरण को आपके पास मौजूद जानकारी के आधार पर पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं। आप त्रिज्या और केंद्रीय कोण से चाप की लंबाई पा सकते हैं। या आप त्रिज्या पा सकते हैं यदि आपके पास केंद्रीय कोण और चाप की लंबाई है।
यदि आप चाप की लंबाई चाहते हैं, तो समीकरण इस तरह दिखता है:
s = θ * आर, जहां s चाप की लंबाई है, r त्रिज्या है, और। रेडियन में केंद्रीय कोण है।
सेंट्रल एंगल प्रमेय
चलो अपने उदाहरण के लिए एक मोड़ जोड़ते हैं जहां आप अपने पड़ोसी और अपने शिक्षक के साथ क्षेत्र में हैं। अब एक तीसरे व्यक्ति को आप अखाड़े में जानते हैं: आपका अगला पड़ोसी। और एक और बात: वे तुम्हारे पीछे हैं। आपको उन्हें देखने के लिए चारों ओर मुड़ना होगा।
आपका पड़ोसी आपके मित्र और आपके शिक्षक से लगभग पूरे क्षेत्र में है। अपने पड़ोसियों के दृष्टिकोण से, मित्र को उनकी दृष्टि और शिक्षक की दृष्टि की उनकी रेखा द्वारा निर्मित कोण का उपचार करता है। Thats एक उत्कीर्ण कोण कहा जाता है। एक उत्कीर्ण कोण एक वृत्त की परिधि के साथ तीन बिंदुओं द्वारा निर्मित कोण है।
सेंट्रल एंगल प्रमेय, आपके द्वारा गठित केंद्रीय कोण के आकार और आपके पड़ोसी द्वारा निर्मित उत्कीर्ण कोण के बीच संबंध को स्पष्ट करता है। सेंट्रल एंगल प्रमेय कहा गया है कि केंद्रीय कोण दो बार खुदा कोण है। (यह मानता है कि आप एक ही समापन बिंदु का उपयोग कर रहे हैं। आप शिक्षक और दोस्त दोनों को देख रहे हैं, किसी और को नहीं)।
इसे लिखने का एक और तरीका है। चलो अपने दोस्तों को सीट ए, अपने शिक्षकों को सीट बी और अपने पड़ोसियों को सीट सी कहें। आप केंद्र में, ओ हो सकते हैं।
इसलिए, केंद्र में एक वृत्त और बिंदु O की परिधि के साथ तीन बिंदुओं A, B और C के लिए, केंद्रीय कोण theAOC, उत्कीर्ण कोण CABC से दोगुना है।
अर्थात्, ∠AOC = 2∠ABC।
यह कुछ समझ में आता है। आप मित्र और शिक्षक के अधिक निकट हैं, इसलिए आपके लिए वे अलग दिखते हैं (एक बड़ा कोण)। स्टेडियम के दूसरी तरफ आपके पड़ोसी के लिए, वे एक साथ बहुत करीब दिखते हैं (एक छोटा कोण)।
सेंट्रल एंगल प्रमेय के अपवाद
अब, चीजों को शिफ्ट करने देता है। अखाड़े के दूर पर आपका पड़ोसी घूमना शुरू कर देता है! उनके पास अभी भी मित्र और शिक्षक की दृष्टि है, लेकिन पड़ोसी के चलते ही रेखाएँ और कोण बदलते रहते हैं। क्या लगता है: जब तक पड़ोसी दोस्त और पड़ोसी के बीच चाप के बाहर रहता है, तब तक सेंट्रल एंगल प्रमेय अभी भी सही है!
लेकिन जब पड़ोसी हिलता है तो क्या होता है के बीच दोस्त और शिक्षक? अब आपका पड़ोसी पड़ोसी के अंदर है मामूली चापमित्र और शिक्षक के बीच अपेक्षाकृत कम दूरी बाकी अखाड़े के आसपास की बड़ी दूरी की तुलना में। तब आप सेंट्रल एंगल प्रमेय के अपवाद तक पहुँच जाते हैं।
सेंट्रल एंगल प्रमेय के अपवाद बताता है कि जब बिंदु सी, पड़ोसी, मामूली चाप के अंदर होता है, तो खुदा हुआ कोण आधा केंद्रीय कोण का पूरक होता है। (याद रखें कि कोण और इसके परिशिष्ट 180 डिग्री में जोड़ें।)
इसलिए: उत्कीर्ण कोण = 180 - (केंद्रीय कोण angle 2)
या: ∠ABC = 180 - (∠AOC 180 2)
कल्पना
मैथ ओपन रेफरेंस में सेंट्रल एंगल प्रमेय और इसके अपवाद की कल्पना करने का एक उपकरण है। आप "पड़ोसी" को सर्कल के सभी अलग-अलग हिस्सों में खींचें और कोण परिवर्तन देखें। यदि आप एक दृश्य या अतिरिक्त अभ्यास चाहते हैं तो इसे आज़माएं!