Eigenvalues ​​की गणना कैसे करें

विषय

• मेट्रिसेस, आइगेनवेल्यूज और ईजेनवेक्टर: व्हाट वे मीन
• Eigenvalues ​​की गणना कैसे करें
• टिप्स
• Eigenvectors ढूँढना

जब आप एक गणित या भौतिकी वर्ग में मैट्रिक्स के साथ प्रस्तुत किए जाते हैं, तो आपको अक्सर इसके आइजनवेल्यूज़ खोजने के लिए कहा जाएगा। यदि आप सुनिश्चित नहीं हैं कि इसका क्या अर्थ है या इसे कैसे करना है, तो कार्य कठिन है, और इसमें बहुत सी भ्रमित करने वाली शब्दावली शामिल हैं जो मामलों को और भी बदतर बनाती हैं। हालाँकि, यदि आप द्विघात (या बहुपद) समीकरणों को हल करने में सहज हैं, तो आपको eigenvalues ​​की गणना करने की प्रक्रिया बहुत चुनौतीपूर्ण नहीं है, बशर्ते आप मैट्रिस, eigenvalues ​​और eigenvectors की मूल बातें सीखें।

मेट्रिसेस, आइगेनवेल्यूज और ईजेनवेक्टर: व्हाट वे मीन

Matrices उन संख्याओं के सरणियाँ हैं जहाँ A सामान्य मैट्रिक्स के नाम के लिए खड़ा है, जैसे:

( 1 3 )

ए = ( 4 2 )

प्रत्येक स्थिति में संख्या अलग-अलग होती है, और उनके स्थान पर बीजीय भाव भी हो सकते हैं। यह एक 2 × 2 मैट्रिक्स है, लेकिन वे विभिन्न आकारों में आते हैं और हमेशा पंक्तियों और स्तंभों की समान संख्या नहीं होती है।

मैट्रिसेस से निपटना साधारण संख्या से निपटने से अलग है, और उन्हें एक दूसरे से गुणा, विभाजित, जोड़ना और घटाना के लिए विशिष्ट नियम हैं। मैट्रिक्स के संबंध में दो विशिष्ट राशियों को संदर्भित करने के लिए "बीजगणित" और "eigenvector" शब्द का उपयोग मैट्रिक्स बीजगणित में किया जाता है। यह स्वदेशी समस्या आपको यह समझने में मदद करती है कि शब्द का अर्थ क्या है:

ए ∙ v = λ ∙ v

ए पहले की तरह एक सामान्य मैट्रिक्स है, v कुछ वेक्टर है, और λ एक विशिष्ट मूल्य है। समीकरण देखें और ध्यान दें कि जब आप वेक्टर द्वारा मैट्रिक्स को गुणा करते हैं vइसका प्रभाव उसी वेक्टर को पुन: उत्पन्न करना है जो केवल मान λ द्वारा गुणा किया जाता है। यह असामान्य व्यवहार है और यह वेक्टर कमाता है v और मात्रा λ विशेष नाम: eigenvector और eigenvalue। ये मैट्रिक्स के चारित्रिक मूल्य हैं क्योंकि आइगेनवेक्टर द्वारा मैट्रिक्स को गुणा करना आइजनवेल के एक कारक द्वारा गुणन के अलावा वेक्टर को अपरिवर्तित छोड़ देता है।

Eigenvalues ​​की गणना कैसे करें

यदि आपको किसी न किसी रूप में मैट्रिक्स के लिए आइगेनवेल्यू की समस्या है, तो आइगेनवेल्यू को ढूंढना आसान है (क्योंकि परिणाम एक सदिश होगा जैसा कि मूल कारक को छोड़कर एक स्थिर कारक - आइगेनवेल्यू को छोड़कर)। उत्तर मैट्रिक्स के विशेषता समीकरण को हल करके पाया जाता है:

बंद करना (ए – λमैं) = 0

कहाँ पे मैं पहचान मैट्रिक्स है, जो मैट्रिक्स को तिरछे नीचे चलने वाली 1s की एक श्रृंखला से अलग है। "पता" मैट्रिक्स के निर्धारक को संदर्भित करता है, जो सामान्य मैट्रिक्स के लिए होता है:

(ए)

ए = (c d)

द्वारा दिया गया है

det ए = ad –bc

तो चारित्रिक समीकरण का अर्थ है:

(ए - λ बी)

बंद करना (ए – λमैं) = (सी डी - λ) = (ए - λ) (डी - λ) - बीसी = 0

उदाहरण मैट्रिक्स के रूप में, आइए परिभाषित करें ए जैसा:

( 0 1 )

ए = (−2 −3 )

तो इसका मतलब:

बंद करना (ए – λमैं) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0

= −λ (−3 – λ) + 2

= λ² + 3 λ + 2 = 0

Λ के समाधान eigenvalues ​​हैं, और आप इसे किसी भी द्विघात समीकरण की तरह हल करते हैं। समाधान λ = - 1 और λ = - 2 हैं।

टिप्स

Eigenvectors ढूँढना

आइजनवेक्टर खोजना एक समान प्रक्रिया है। समीकरण का उपयोग करना:

(ए – λ) ∙ v = 0

बदले में आपको मिले हर एक स्वदेशी के साथ। इसका मतलब है की:

(a - λ b) (v)₁ ) (ए - λ) वी₁ + बी वी₂ (0)

(ए – λ) ∙ v = (सी डी - λ) ∙ (वी₂ ) = सी वी₁ + (डी - λ) वी₂ = (0)

आप प्रत्येक पंक्ति को बारी-बारी से विचार करके इसे हल कर सकते हैं। आपको केवल उसी के अनुपात की आवश्यकता है v₁ सेवा v₂, क्योंकि असीम रूप से कई संभावित समाधान होंगे v₁ तथा v₂.