विषय
आँकड़ों में, गाऊसी या सामान्य, वितरण का उपयोग कई कारकों के साथ जटिल प्रणालियों को चिह्नित करने के लिए किया जाता है। जैसा कि स्टीफन स्टिगलर की द हिस्ट्री ऑफ स्टैटिस्टिक्स में वर्णित है, अब्राहम डी मोइवर ने उस वितरण का आविष्कार किया था जो कार्ल फ्रेड्रिक गॉस के नाम पर है। सर्वोत्तम फिट की एक पंक्ति के साथ फिटिंग डेटा में त्रुटि को कम करने के लिए गौस का योगदान कम से कम वर्गों के वितरण के अपने आवेदन में निहित है। इस प्रकार उन्होंने आंकड़ों में इसे सबसे महत्वपूर्ण त्रुटि वितरण बना दिया।
प्रेरणा
डेटा के नमूने का वितरण क्या है? यदि आपको डेटा के अंतर्निहित वितरण का पता नहीं है तो क्या होगा? क्या अंतर्निहित वितरण को जानने के बिना डेटा के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करने का कोई तरीका है? केंद्रीय सीमा प्रमेय के लिए धन्यवाद, इसका उत्तर हां है।
प्रमेय का कथन
यह बताता है कि एक अनन्त आबादी से एक नमूना मतलब लगभग सामान्य है, या गॉसियन, जिसका मतलब अंतर्निहित आबादी के समान है, और नमूना आकार द्वारा विभाजित जनसंख्या विचरण के बराबर भिन्नता है। नमूना आकार बड़ा होने के कारण सन्निकटन में सुधार होता है।
सन्निकटन कथन को कभी-कभी एक सामान्य वितरण में अभिसरण के निष्कर्ष के रूप में गलत समझा जाता है। चूंकि नमूना आकार बढ़ने पर सामान्य वितरण में परिवर्तन होता है, इसलिए इस तरह का बयान भ्रामक है।
प्रमेय का विकास पियरे साइमन लाप्लास ने किया था।
क्यों हर जगह
सामान्य वितरण सर्वव्यापी हैं। इसका कारण केंद्रीय सीमा प्रमेय है। अक्सर, जब कोई मूल्य मापा जाता है, तो यह कई स्वतंत्र चर का योग होता है। इसलिए, खुद को मापा जा रहा मूल्य इसके लिए एक नमूना-मतलब गुणवत्ता है। उदाहरण के लिए, एथलीट के प्रदर्शनों के वितरण में एक बेल-आकार हो सकता है, जिसके परिणामस्वरूप आहार, प्रशिक्षण, आनुवंशिकी, कोचिंग और मनोविज्ञान में अंतर हो सकता है। यहां तक कि मेन्स हाइट्स का एक सामान्य वितरण है, कई जैविक कारकों का एक फ़ंक्शन है।
गॉसियन कॉपुलस
गॉसियन डिस्ट्रीब्यूशन के साथ "कोप्युला फंक्शन" को क्या कहा जाता है, 2009 में संपार्श्विक बॉन्ड में निवेश के जोखिम का आकलन करने में इसके उपयोग के कारण समाचार में था। 2008-2009 के वित्तीय संकट में समारोह का दुरुपयोग महत्वपूर्ण था। हालाँकि, संकट के कई कारण थे, दृष्टिगोचर में गॉसियन वितरण की संभावना का उपयोग नहीं किया जाना चाहिए था। एक मोटी पूंछ के साथ एक समारोह प्रतिकूल घटनाओं के लिए अधिक से अधिक संभावना को सौंपा होगा।
व्युत्पत्ति
केंद्रीय सीमा प्रमेय अंतर्निहित आबादी के mgf के एक समारोह के रूप में (नमूना माध्य - जनसंख्या माध्य) /? (जनसंख्या विचरण / नमूना आकार) के पल उत्पन्न फ़ंक्शन (mgf) का विश्लेषण करके कई पंक्तियों में साबित किया जा सकता है। प्रमेय के सन्निकटन वाले हिस्से को अंतर्निहित आबादी के एमजीएफ को एक शक्ति श्रृंखला के रूप में विस्तारित करके पेश किया जाता है, फिर अधिकांश शब्दों को दिखाने के लिए महत्वहीन है क्योंकि नमूना आकार बड़ा हो जाता है।
एक ही फ़ंक्शन के चारित्रिक समीकरण पर एक टेलर विस्तार का उपयोग करके और नमूना आकार को बड़ा बनाकर इसे बहुत कम लाइनों में साबित किया जा सकता है।
कम्प्यूटेशनल सुविधा
कुछ सांख्यिकीय मॉडल गॉसियन होने की त्रुटियों को मानते हैं। यह सामान्य चर के कार्यों के वितरण को सक्षम करता है, जैसे कि ची-वर्ग- और एफ-वितरण, का उपयोग परिकल्पना परीक्षण में किया जाता है। विशेष रूप से, एफ-टेस्ट में, एफ स्टेटिस्टिक ची-स्क्वायर डिस्ट्रीब्यूशन के अनुपात से बना है, जो स्वयं एक सामान्य विचरण पैरामीटर के कार्य हैं। दो का अनुपात भिन्नता को रद्द करने का कारण बनता है, जो अपनी सामान्यता और स्थिरता से अलग संस्करण के ज्ञान के बिना परिकल्पना परीक्षण को सक्षम करता है।