आंशिक विस्तारक: गुणा और विभाजन के नियम

विषय

• टीएल; डीआर (बहुत लंबा; डिडंट रीड)
• भिन्नात्मक व्यय क्या हैं?
• अंश विस्तारक नियम: समान आधार के साथ भिन्नात्मक घातांक को गुणा करना
• अंश विस्तारक नियम: समान आधार के साथ विभेदक घातांक का विभाजन
• विभिन्‍न गैसों में विभिन्‍न भिन्‍न खर्चों को गुणा और भाग करना

घातांक से निपटने के लिए सीखना किसी भी गणित की शिक्षा का एक अभिन्न अंग बनता है, लेकिन शुक्र है कि उन्हें गुणा करने और विभाजित करने के नियम गैर-भिन्नात्मक घातांक के नियमों से मेल खाते हैं। फ्रैक्शनल एक्सपोर्टरों के साथ कैसे व्यवहार करें, यह समझने के लिए पहला कदम यह है कि वे वास्तव में क्या हैं, और फिर आप उन तरीकों पर नज़र डाल सकते हैं, जब आप एक्सपीरियंस को जोड़ सकते हैं जब वे गुणा या विभाजित होते हैं और उनका आधार समान होता है। संक्षेप में, आप एक साथ गुणा करते समय घातांक जोड़ते हैं और विभाजित करते समय एक को दूसरे से घटाते हैं, बशर्ते उनका आधार समान हो।

टीएल; डीआर (बहुत लंबा; डिडंट रीड)

सामान्य नियम का उपयोग कर विरोधियों के साथ गुणा करें:

एक्स^ए + एक्स^ख = एक्स^{(ए + ख)}

और नियम का उपयोग करते हुए विरोधियों के साथ शर्तें विभाजित करें:

एक्स^ए ÷ एक्स^ख = एक्स^{(ए – ख)}

इन नियमों के स्थान पर किसी भी अभिव्यक्ति के साथ काम करते हैं ए तथा ख, यहां तक ​​कि अंशों।

भिन्नात्मक व्यय क्या हैं?

आंशिक विस्तारक वर्ग, घन और उच्च जड़ों को व्यक्त करने का एक कॉम्पैक्ट और उपयोगी तरीका प्रदान करते हैं। घातांक पर भाजक आपको बताता है कि "आधार" संख्या का कौन सा मूल शब्द प्रतिनिधित्व करता है। जैसे पद में एक्स^ए, आप कॉल करें एक्स आधार और ए प्रतिपादक। तो एक भिन्नात्मक घातांक आपको बताता है:

एक्स^1/2 = √एक्स

प्रतिपादक पर दो का भाजक बताता है कि आप वर्गमूल को ले रहे हैं एक्स इस अभिव्यक्ति में। एक ही मूल नियम उच्च जड़ों पर लागू होता है:

एक्स^1/3 = ∛एक्स

तथा

एक्स^1/4 = ⁴√x

यह पैटर्न जारी है। एक ठोस उदाहरण के लिए:

9^1/2 = √9 = 3

तथा

8^1/3 = ∛8 = 2

अंश विस्तारक नियम: समान आधार के साथ भिन्नात्मक घातांक को गुणा करना

भिन्नात्मक घातांक के साथ गुणा शब्द (बशर्ते उनके पास एक ही आधार हो) एक साथ घातांक जोड़कर। उदाहरण के लिए:

एक्स^1/3 × एक्स^1/3 × एक्स^1/3 = एक्स ^{(1/3 + 1/3 + 1/3)}

= एक्स¹ = एक्स

जबसे एक्स^1/3 का अर्थ है “घनमूल एक्स, "यह सही समझ में आता है कि दो बार खुद से गुणा यह परिणाम देता है एक्स। आप जैसे उदाहरणों में भी चल सकते हैं एक्स^1/3 × एक्स^1/3, लेकिन आप इन सबसे ठीक उसी तरह से निपटते हैं:

एक्स^1/3 × एक्स^1/3 = एक्स ^{(1/3 + 1/3)}

= एक्स^2/3

यह तथ्य कि अंत में अभिव्यक्ति अभी भी एक भिन्नात्मक प्रतिपादक है, इस प्रक्रिया से कोई फर्क नहीं पड़ता। यदि आप ध्यान दें कि यह सरल हो सकता है एक्स^2/3 = (एक्स^1/3)² = ∛एक्स²। इस तरह की अभिव्यक्ति के साथ, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप पहले रूट या पावर लेते हैं या नहीं। यह उदाहरण बताता है कि इनकी गणना कैसे करें:

8^1/3 + 8^1/3 = 8^2/3

= ∛8²

चूँकि 8 का घनमूल काम करना आसान है, इस प्रकार निपटाएँ:

∛8² = 2² = 4

तो इसका मतलब है:

8^1/3 + 8^1/3 = 4

आप भिन्नों के विभाजनों में भिन्न संख्याओं के साथ भिन्नात्मक घातांक के उत्पादों का सामना कर सकते हैं, और आप इन घातांक को उसी तरह जोड़ सकते हैं जैसे आप अन्य अंश जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए:

एक्स^1/4 × एक्स^1/2 = एक्स^{(1/4 + 1/2)}

= एक्स^{(1/4 + 2/4)}

= एक्स^3/4

घातांक के साथ दो भावों को गुणा करने के सामान्य नियम के ये सभी विशिष्ट भाव हैं:

एक्स^ए + एक्स^ख = एक्स^{(ए + ख)}

अंश विस्तारक नियम: समान आधार के साथ विभेदक घातांक का विभाजन

आप जिस डिवाइडर (विभाजक) को विभाजित कर रहे हैं, उसे विभाजित करने वाले (डिवाइडर) को घटाकर भिन्नात्मक घातांक के साथ दो संख्याओं का विभाजन करें। उदाहरण के लिए:

एक्स^1/2 ÷ एक्स^1/2 = एक्स^{(1/2 – 1/2)}

= एक्स⁰ = 1

यह समझ में आता है, क्योंकि कोई भी संख्या अपने आप में विभाजित होती है, एक के बराबर होती है, और यह मानक परिणाम से सहमत होता है कि 0 की शक्ति के लिए उठाया गया कोई भी संख्या एक के बराबर होती है। अगला उदाहरण आधार और विभिन्न घातांक के रूप में संख्याओं का उपयोग करता है:

16^1/2 ÷ 16^1/4 = 16^{(1/2 – 1/4)}

= 16^{(2/4 – 1/4)}

= 16^1/4

= 2

जिसे आप देख भी सकते हैं यदि आप उस 16 को नोट करते हैं^1/2 = 4 और 16^1/4 = 2.

गुणा के साथ, आप अंश में एक के अलावा अन्य संख्या वाले भिन्नात्मक घातांक के साथ समाप्त हो सकते हैं, लेकिन आप उसी तरह से इनसे निपटते हैं।

ये केवल घातांक को विभाजित करने के लिए सामान्य नियम को व्यक्त करते हैं:

एक्स^ए ÷ एक्स^ख = एक्स^{(ए – ख)}

विभिन्‍न गैसों में विभिन्‍न भिन्‍न खर्चों को गुणा और भाग करना

यदि शर्तों के आधार अलग हैं, तो घातांक को गुणा या विभाजित करने का कोई आसान तरीका नहीं है। इन मामलों में, बस व्यक्तिगत शब्दों के मूल्य की गणना करें और फिर आवश्यक ऑपरेशन करें। एकमात्र अपवाद यह है कि यदि घातांक समान है, तो इस मामले में आप उन्हें निम्नानुसार गुणा या विभाजित कर सकते हैं:

एक्स⁴ × y⁴ = (xy)⁴

एक्स⁴ ÷ y⁴ = (x ÷ य)⁴