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परिवर्तन की दरें विज्ञान में और विशेष रूप से भौतिकी में गति और त्वरण जैसी मात्राओं के माध्यम से दिखाई देती हैं। व्युत्पन्न एक गणितीय रूप से दूसरे के संबंध में एक मात्रा के परिवर्तन की दर का वर्णन करते हैं, लेकिन उनकी गणना करना कभी-कभी जटिल हो सकता है, और आपको समीकरण रूप में एक फ़ंक्शन के बजाय एक ग्राफ के साथ प्रस्तुत किया जा सकता है। यदि आप एक वक्र के ग्राफ के साथ प्रस्तुत किए गए हैं और इसे व्युत्पन्न ढूंढना है, तो आप समीकरण के साथ सटीक नहीं हो सकते हैं, लेकिन आप आसानी से एक ठोस अनुमान लगा सकते हैं।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; डिडंट रीड)
व्युत्पन्न के मूल्य को खोजने के लिए ग्राफ पर एक बिंदु चुनें।
इस बिंदु पर ग्राफ की वक्र के लिए एक सीधी रेखा स्पर्शरेखा बनाएँ।
ग्राफ़ पर अपने चुने हुए बिंदु पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करने के लिए इस रेखा का ढलान लें।
एक व्युत्पन्न क्या है?
किसी समीकरण को अलग करने की अमूर्त सेटिंग के बाहर, आप थोड़ा भ्रमित हो सकते हैं कि वास्तव में एक व्युत्पन्न क्या है। बीजगणित में, एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक समीकरण है जो आपको किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन के "ढलान" का मूल्य बताता है। दूसरे शब्दों में, यह आपको बताता है कि एक मात्रा में परिवर्तन ने दूसरे में एक छोटा सा परिवर्तन कैसे दिया। एक ग्राफ पर, रेखा का ढाल या ढलान आपको बताता है कि निर्भर चर (पर रखा गया) कितना है y-axis) स्वतंत्र चर के साथ (पर) बदलता है एक्स-एक्सिस)।
सीधी रेखा के ग्राफ़ के लिए, आप ग्राफ़ की ढलान की गणना करके परिवर्तन की (निरंतर) दर निर्धारित करते हैं। घटता द्वारा वर्णित संबंध से निपटने के लिए उतना आसान नहीं है, लेकिन यह सिद्धांत कि व्युत्पन्न का अर्थ केवल ढलान (उस विशिष्ट बिंदु पर) अभी भी सही है।
घटता द्वारा वर्णित संबंधों के लिए, व्युत्पन्न वक्र के साथ हर बिंदु पर एक अलग मूल्य लेता है। ग्राफ के व्युत्पन्न का अनुमान लगाने के लिए, आपको व्युत्पन्न को लेने के लिए एक बिंदु चुनने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास एक ग्राफ है, जो सीधी रेखा के ग्राफ पर, समय के खिलाफ तय की गई दूरी को दर्शाती है, तो ढलान आपको निरंतर गति बताता है। समय के साथ बदलने वाली गति के लिए, ग्राफ़ एक वक्र होगा, लेकिन एक सीधी रेखा जो वक्र को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है (वक्र के लिए एक रेखा स्पर्शरेखा) उस विशिष्ट बिंदु पर परिवर्तन की दर का प्रतिनिधित्व करती है।
एक ऐसा स्थान चुनें, जिसे आपको व्युत्पन्न जानना आवश्यक है। दूरी बनाम समय उदाहरण का उपयोग करके, उस समय का चयन करें जिस पर आप यात्रा की गति जानना चाहते हैं। यदि आपको कई अलग-अलग बिंदुओं पर गति जानने की आवश्यकता है, तो आप प्रत्येक व्यक्तिगत बिंदु के लिए इस प्रक्रिया को चला सकते हैं। यदि आप गति की शुरुआत के बाद 15 सेकंड की गति जानना चाहते हैं, तो 15 सेकंड पर वक्र पर स्पॉट चुनें एक्स-एक्सिस।
जिस बिंदु पर आप रुचि रखते हैं उस बिंदु पर वक्र के लिए एक रेखा स्पर्शरेखा बनाएं। ऐसा करते समय अपना समय लें, क्योंकि यह प्रक्रिया का सबसे महत्वपूर्ण और सबसे चुनौतीपूर्ण हिस्सा है। यदि आप अधिक सटीक स्पर्शरेखा रेखा खींचते हैं तो आपका अनुमान बेहतर होगा। एक शासक को वक्र तक बिंदु पर पकड़ें और उसके अभिविन्यास को समायोजित करें ताकि आपके द्वारा खींची जाने वाली रेखा केवल जिस बिंदु पर आप रुचि रखते हैं, उस बिंदु पर वक्र को स्पर्श करें।
जब तक ग्राफ अनुमति देगा, तब तक अपनी रेखा खींचें। सुनिश्चित करें कि आप आसानी से दोनों के लिए दो मान पढ़ सकते हैं एक्स तथा y निर्देशांक, आपकी रेखा की शुरुआत के पास और अंत के पास एक। आपको लंबी लाइन खींचने की बिल्कुल जरूरत नहीं है (तकनीकी रूप से कोई भी सीधी रेखा उपयुक्त है), लेकिन लंबी लाइनों के ढलान को मापने के लिए आसान हो जाता है।
अपनी लाइन पर दो स्थानों का पता लगाएँ और एक नोट बनाएँ एक्स तथा y उनके लिए निर्देशांक। उदाहरण के लिए, अपनी स्पर्शरेखा रेखा को दो उल्लेखनीय स्थानों की कल्पना करें एक्स = 1, y = 3 और एक्स = 10, y = 30, जिसे आप बिंदु 1 और बिंदु 2 कह सकते हैं। प्रतीकों का उपयोग करना एक्स1 तथा y1 पहले बिंदु के निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए और एक्स2 तथा y2 दूसरे बिंदु, ढलान के निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए म द्वारा दिया गया है:
म = (y2 - y1) ÷ (एक्स2 – एक्स1)
यह आपको उस बिंदु पर वक्र के व्युत्पन्न को बताता है जहां रेखा वक्र को छूती है। उदाहरण में, एक्स1 = 1, एक्स2 = 10, y1 = 3 और y2 = 30, इसलिए:
म = (30 – 3) ÷ (10 – 1)
= 27 ÷ 9
= 3
उदाहरण में, यह परिणाम चुने हुए बिंदु पर गति होगा। तो अगर द एक्स-एक्सिस को सेकंड और में मापा गया था y-मैक्सिस को मीटरों में मापा जाता था, इसका मतलब यह होगा कि विचाराधीन वाहन 3 मीटर प्रति सेकंड की दर से यात्रा कर रहा था। आपके द्वारा गणना की जाने वाली विशिष्ट मात्रा के बावजूद, व्युत्पन्न के आकलन की प्रक्रिया समान है।