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गणित में, कभी-कभी यह साबित करने की आवश्यकता होती है कि क्या कार्य एक-दूसरे पर निर्भर हैं या एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं। यदि आपके पास दो कार्य हैं जो रैखिक निर्भर हैं, तो उन कार्यों के समीकरणों को रेखांकन करने से उन बिंदुओं का परिणाम होता है जो ओवरलैप होते हैं। स्वतंत्र समीकरणों वाले फ़ंक्शंस ग्राफ़ किए जाने पर ओवरलैप नहीं होते हैं। यह निर्धारित करने का एक तरीका है कि क्या कार्य आश्रित हैं या स्वतंत्र हैं, कार्यों के लिए वैरोस्कियन की गणना करना है।
एक Wronskian क्या है?
दो या दो से अधिक कार्यों के Wronskian को एक निर्धारक के रूप में जाना जाता है, जो गणितीय वस्तुओं की तुलना करने और उनके बारे में कुछ तथ्यों को साबित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक विशेष कार्य है। Wronskian के मामले में, निर्धारक का उपयोग दो या अधिक रैखिक कार्यों के बीच निर्भरता या स्वतंत्रता को साबित करने के लिए किया जाता है।
Wronskian मैट्रिक्स
रैखिक कार्यों के लिए व्रॉस्कियन की गणना करने के लिए, फ़ंक्शन को एक मैट्रिक्स के भीतर समान मूल्य के लिए हल करने की आवश्यकता होती है जिसमें फ़ंक्शन और उनके डेरिवेटिव दोनों होते हैं। इसका एक उदाहरण W (f, g) (t) = | चच((टीटी)) जीजी((टीटी)) |, जो दो कार्यों (एफ और जी) के लिए व्रॉस्कियन प्रदान करता है जो एक एकल मूल्य के लिए हल होते हैं जो शून्य (टी) से अधिक है; आप दो कार्य f (t) और g (t) मैट्रिक्स की शीर्ष पंक्ति में देख सकते हैं, और नीचे पंक्ति में डेरिवेटिव f (t) और g (t)। ध्यान दें कि Wronskian का उपयोग बड़े सेटों के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक Wronskian के साथ तीन फ़ंक्शंस का परीक्षण करते हैं, तो आप फ़ मैट्रिक्स (t), g (t) और h (t) के फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव के साथ एक मैट्रिक्स को आबाद कर सकते हैं।
Wronskian को हल करना
एक बार जब आपके पास एक मैट्रिक्स में व्यवस्थित कार्य होते हैं, तो प्रत्येक फ़ंक्शन को दूसरे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के खिलाफ क्रॉस-गुणा करें और पहले मूल्य को दूसरे से घटाएं। ऊपर के उदाहरण के लिए, यह आपको डब्ल्यू (एफ, जी) (टी) = एफ (टी) जी (टी) - जी (टी) एफ (टी) देता है। यदि अंतिम उत्तर शून्य के बराबर है, तो यह दर्शाता है कि दो कार्य निर्भर हैं। यदि उत्तर शून्य के अलावा कुछ है, तो फ़ंक्शन स्वतंत्र हैं।
Wronskian उदाहरण
आपको यह कैसे काम करता है, इसका एक बेहतर विचार देने के लिए, मान लें कि f (t) = x + 3 और g (t) = x - 2. t = 1 के मान का उपयोग करके, आप फ़ंक्शन को f (1) के रूप में हल कर सकते हैं। 4 और जी (1) = -1। जैसा कि ये 1 के ढलान के साथ बुनियादी रैखिक कार्य हैं, दोनों f (t) और g (t) के व्युत्पन्न बराबर 1 हैं। आपके मूल्यों को क्रॉस-गुणा करना W (f, g) (1) = (4 + 1) को देता है। - (-1 + 1), जो 5. का अंतिम परिणाम प्रदान करता है। हालांकि रैखिक कार्यों में दोनों में एक ही ढलान होता है, वे स्वतंत्र होते हैं क्योंकि उनके अंक ओवरलैप नहीं होते हैं। यदि f (t) ने 4 के बजाय -1 का परिणाम दिया था, तो Wronskian ने निर्भरता को इंगित करने के बजाय शून्य का परिणाम दिया होगा।