विषय
प्रक्षेप्य गति एक कण की गति को संदर्भित करता है जो एक प्रारंभिक वेग के साथ लगाया जाता है लेकिन बाद में गुरुत्वाकर्षण के अलावा किसी भी बल के अधीन नहीं होता है।
इसमें ऐसी समस्याएं शामिल हैं जिनमें एक कण 0 से 90 डिग्री के बीच के कोण पर क्षैतिज रूप से फेंका जाता है, जिसमें क्षैतिज रूप से जमीन होती है। सुविधा के लिए, इन प्रोजेक्टाइल में यात्रा करने के लिए माना जाता है (एक्स, वाई) विमान, साथ एक्स क्षैतिज विस्थापन का प्रतिनिधित्व करना और y ऊर्ध्वाधर विस्थापन।
एक प्रक्षेप्य द्वारा लिया गया रास्ता इसके रूप में संदर्भित किया जाता है प्रक्षेपवक्र। (ध्यान दें कि "प्रक्षेप्य" और "प्रक्षेपवक्र" में सामान्य लिंक शब्दांश "-जेक्ट," लैटिन शब्द "थ्रो" है। किसी को अस्वीकार करने का शाब्दिक अर्थ है उसे बाहर फेंकना।) समस्याओं में प्रक्षेप्य की उत्पत्ति का बिंदु। जिसमें आपको प्रक्षेपवक्र की गणना करने की आवश्यकता होती है, आमतौर पर सादगी के लिए माना जाता है (0, 0) जब तक कि अन्यथा न कहा जाए।
प्रक्षेप्य का प्रक्षेपवक्र एक परवलय है (या कम से कम एक पाराबोला के एक भाग का पता लगाता है) यदि कण को इस तरह से लॉन्च किया जाता है जिसमें एक गैर-अक्षीय क्षैतिज गति घटक होता है, और कण को प्रभावित करने के लिए कोई वायु प्रतिरोध नहीं होता है।
द किनेमेटिक इक्वेशन
एक कण की गति में रुचि के चर इसकी स्थिति निर्देशांक हैं एक्स तथा y, इसका वेग v, और इसके त्वरण ए, सभी दिए गए समय के संबंध में टी समस्या की शुरुआत के बाद से (जब कण लॉन्च किया गया या जारी किया गया)। ध्यान दें कि द्रव्यमान (एम) की चूक का अर्थ है कि पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण इस मात्रा से स्वतंत्र रूप से कार्य करता है।
यह भी ध्यान दें कि ये समीकरण वायु प्रतिरोध की भूमिका को नजरअंदाज करते हैं, जो वास्तविक जीवन की पृथ्वी स्थितियों में गति का विरोध करने वाला एक बल बनाता है। यह कारक उच्च-स्तरीय यांत्रिकी पाठ्यक्रम में पेश किया गया है।
वेरिएबल्स ने एक सबस्क्रिप्ट "0" दिया, जो उस समय की मात्रा के मूल्य को दर्शाता है टी = 0 और स्थिरांक हैं; अक्सर, यह मान चुना गया समन्वय प्रणाली के लिए 0 है, और समीकरण इतना सरल हो जाता है। त्वरण को इन समस्याओं में स्थिर माना जाता है (और y- दिशा में है और इसके बराबर है -जी, या -9.8 मी। / से2(पृथ्वी की सतह के पास गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण)।
क्षैतिज गति:
x = x0 + वीएक्स टी
कार्यक्षेत्र गति:
प्रोजेक्टाइल मोशन के उदाहरण
प्रक्षेपवक्र गणना में शामिल समस्याओं को हल करने में सक्षम होने की कुंजी यह जान रही है कि गति के क्षैतिज (x) और ऊर्ध्वाधर (y) घटकों का अलग-अलग विश्लेषण किया जा सकता है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, और समग्र गति के लिए उनके संबंधित योगदान बड़े करीने से अंत में अभिव्यक्त हुए हैं समस्या।
प्रोजेक्टाइल मोशन प्रॉब्लम फ्री-फॉल प्रॉब्लम के रूप में गिना जाता है, क्योंकि कोई भी चीज समय के बाद सही नहीं लगती टी = 0, चलती हुई वस्तु पर अभिनय करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है।
प्रक्षेपवक्र गणना
1. बेसबॉल में सबसे तेज़ घड़े एक गेंद को 100 मील प्रति घंटे या 45 मीटर / घंटा की रफ्तार से फेंक सकते हैं। यदि इस गति से एक गेंद को ऊपर की ओर फेंका जाता है, तो वह कितनी ऊँची हो जाएगी और जिस बिंदु पर उसे छोड़ा गया था, उसे वापस लौटने में कितना समय लगेगा?
यहाँ vY0 = 45 मीटर / सेकंड, -जी = -9.8 m / s, और ब्याज की मात्रा अंतिम ऊंचाई है, या y, और कुल समय वापस पृथ्वी पर। कुल समय एक दो-भाग की गणना है: y तक का समय, और समय वापस y तक0 = 0. समस्या के पहले भाग के लिए, vy, जब गेंद अपनी चरम ऊंचाई पर पहुंचती है, तो 0 होती है।
समीकरण का उपयोग करके प्रारंभ करें vy2 = वी0y2 - 2 जी (वाई - वाई0) और आपके पास मौजूद मानों में प्लगिंग:
0 = (45)2 - (2) (9.8) (y - 0) = 2,025 - 19.6y
y = १०३.३ मी
समीकरण vy = वी0y - जी.टी. यह दर्शाता है कि इसमें लगने वाला समय (45 / 9.8) = 4.6 सेकंड है। कुल समय पाने के लिए, इस मूल्य को उस समय में जोड़ें, जब गेंद को अपने शुरुआती बिंदु पर स्वतंत्र रूप से गिरने के लिए लगता है। इसके द्वारा दिया गया है य = य0 + वी0yt - (1/2) gt2 , जहां अब, क्योंकि गेंद अभी भी पल में है, इससे पहले कि वह गिरना शुरू हो जाए, v0y = 0.
हल करना (103.3) = (1/2) जी.टी.2 टी के लिए टी = 4.59 सेकंड देता है।
इस प्रकार कुल समय 4.59 + 4.59 = 9.18 सेकंड है। शायद-आश्चर्यजनक परिणाम यह है कि यात्रा के प्रत्येक "पैर", ऊपर और नीचे, एक ही समय में इस तथ्य को रेखांकित करता है कि गुरुत्वाकर्षण केवल यहाँ खेलने में बल है।
2. रेंज समीकरण: जब एक प्रक्षेप्य को वेग से प्रक्षेपित किया जाता है v0 और क्षैतिज से कोण θ, इसमें वेग के प्रारंभिक क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक हैं v0x = v0(cos and) और v0y = v0(पाप θ)।
चूंकि vy = वी0y - जी.टी., तथा vy = 0 जब प्रक्षेप्य अपनी अधिकतम ऊंचाई तक पहुँच जाता है, तो अधिकतम ऊंचाई का समय t = द्वारा दिया जाता है v0y/ जी। समरूपता के कारण, जमीन पर लौटने में लगने वाला समय (या y = y) होगा0) बस 2t = 2 हैv0y/जी.
अंत में, संबंध x = के साथ इनका संयोजन v0xटी, क्षैतिज दूरी की यात्रा एक प्रक्षेपण कोण दिया a है
आर (रेंज) = 2 (वी)02पाप θ ⋅ cos cos / g) = v02(Sin2θ) / जी
(अंतिम चरण त्रिकोणमितीय पहचान 2 sinθ θ cos sin = sin 2) से आता है।)
चूँकि sin2θ 1 के अपने अधिकतम मूल्य पर है जब degrees = 45 डिग्री, इस कोण का उपयोग करके किसी दिए गए कोण के लिए क्षैतिज दूरी को अधिकतम करता है
आर = वी02/ जी।