एक टेलर श्रृंखला किसी दिए गए फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने का एक संख्यात्मक तरीका है। इस विधि में कई इंजीनियरिंग क्षेत्रों में आवेदन किया गया है। कुछ मामलों में, जैसे कि गर्मी हस्तांतरण, अंतर विश्लेषण के परिणामस्वरूप एक समीकरण होता है जो टेलर श्रृंखला के रूप में फिट बैठता है। टेलर श्रृंखला भी एक अभिन्न का प्रतिनिधित्व कर सकती है यदि उस फ़ंक्शन का अभिन्न विश्लेषणात्मक रूप से मौजूद नहीं है। ये प्रतिनिधित्व सटीक मूल्य नहीं हैं, लेकिन श्रृंखला में अधिक शब्दों की गणना करने से सन्निकटन अधिक सटीक हो जाएगा।
टेलर श्रृंखला के लिए एक केंद्र चुनें। यह संख्या मनमानी है, लेकिन एक ऐसा केंद्र चुनने के लिए एक अच्छा विचार है जहां फ़ंक्शन में समरूपता है या जहां केंद्र के लिए मूल्य समस्या के गणित को सरल करता है। यदि आप f (x) = sin (x) के टेलर श्रृंखला प्रतिनिधित्व की गणना कर रहे हैं, तो उपयोग करने के लिए एक अच्छा केंद्र एक = 0 है।
गणना करने के लिए इच्छित शर्तों की संख्या निर्धारित करें। आपके द्वारा उपयोग किए जाने वाले शब्द, आपका प्रतिनिधित्व जितना अधिक सटीक होगा, लेकिन चूंकि टेलर श्रृंखला एक अनंत श्रृंखला है, इसलिए सभी संभावित शब्दों को शामिल करना असंभव है। पाप (x) उदाहरण छह शब्दों का उपयोग करेगा।
श्रृंखला के लिए आवश्यक डेरिवेटिव की गणना करें। इस उदाहरण के लिए, आपको छठे व्युत्पन्न तक के सभी डेरिवेटिव की गणना करनी होगी। चूंकि टेलर श्रृंखला "n = 0" पर शुरू होती है, इसलिए आपको "0th" व्युत्पन्न को शामिल करना होगा, जो कि मूल कार्य है। ० वां व्युत्पन्न = पाप (एक्स) १ = कॉस (एक्स) २ = -सिन (एक्स) ३ = -कोस (एक्स) ४ वा = पाप (एक्स) ५ वा = कोस (x) ६ वाँ = -सिन (x)
आपके द्वारा चुने गए केंद्र में प्रत्येक व्युत्पन्न के लिए मूल्य की गणना करें। ये मूल्य टेलर श्रृंखला के पहले छह शब्दों के लिए अंश होंगे। sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
टेलर श्रृंखला की शर्तों को निर्धारित करने के लिए व्युत्पन्न गणना और केंद्र का उपयोग करें। पहला कार्यकाल; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 दूसरा कार्यकाल; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! तीसरा कार्यकाल; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4 वाँ पद; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5 वीं अवधि; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! 6 वाँ पद; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! पाप के लिए टेलर श्रृंखला (x): पाप (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
श्रृंखला में शून्य शब्द छोड़ें और फ़ंक्शन के सरलीकृत प्रतिनिधित्व को निर्धारित करने के लिए बीजगणितीय रूप से अभिव्यक्ति को सरल बनाएं। यह पूरी तरह से अलग श्रृंखला होगी, इसलिए पहले उपयोग किए गए "एन" के लिए मान अब लागू नहीं होते हैं। sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ... पाप (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (X ^ 5) / 5! - ... चूंकि संकेत सकारात्मक और नकारात्मक के बीच वैकल्पिक होते हैं, सरलीकृत समीकरण का पहला घटक (-1) ^ n होना चाहिए, क्योंकि श्रृंखला में संख्याएं भी नहीं हैं। शब्द (-1) ^ n का परिणाम ऋणात्मक चिन्ह में है जब n विषम है और धनात्मक चिन्ह जब n सम है। विषम संख्याओं की श्रृंखला निरूपण है (2n + 1)। जब n = 0, यह शब्द 1 के बराबर है; जब n = 1, यह शब्द 3 और इसी तरह अनंत के बराबर है। इस उदाहरण में, एक्स के घातांक और भाजक में भाज्य के लिए इस प्रतिनिधित्व का उपयोग करें
मूल फ़ंक्शन के स्थान पर फ़ंक्शन के प्रतिनिधित्व का उपयोग करें। अधिक उन्नत और अधिक कठिन समीकरणों के लिए, एक टेलर श्रृंखला एक बेकार समीकरण को हल कर सकती है, या कम से कम एक उचित संख्यात्मक समाधान दे सकती है।