12 पक्षीय बहुभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

विषय

• एक नियमित 12-पक्षीय बहुभुज के क्षेत्र की गणना
• अनियमित डोडेकागन के क्षेत्र का पता लगाना

एक बहुभुज किसी भी बंद दो-आयामी आकृति है जिसमें 3 या अधिक सीधे (घुमावदार नहीं) पक्ष होते हैं, और 12-पक्षीय बहुभुज को डोडेकेगन के रूप में जाना जाता है। एक नियमित डोडेकागन समान पक्षों और कोणों के साथ एक है, और इसके क्षेत्र की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करना संभव है। एक अनियमित डोडेकागन में विभिन्न लंबाई और विभिन्न कोणों के किनारे होते हैं। एक छह-बिंदु वाला तारा एक उदाहरण है। अनियमित 12-पक्षीय आंकड़े के क्षेत्र की गणना करने का कोई आसान तरीका नहीं है जब तक कि आप ऐसा नहीं करते हैं कि यह एक ग्राफ पर प्लॉट किया गया है और प्रत्येक कोने के निर्देशांक को पढ़ सकता है। यदि नहीं, तो सबसे अच्छी रणनीति यह है कि आकृति को नियमित आकार में विभाजित करें जिसके लिए आप क्षेत्र की गणना कर सकते हैं।

एक नियमित 12-पक्षीय बहुभुज के क्षेत्र की गणना

एक नियमित डोडेकेगन के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको इसका केंद्र ढूंढना होगा, और ऐसा करने का सबसे अच्छा तरीका है कि इसके चारों ओर एक वृत्त का परिमार्जन किया जाए जो इसके प्रत्येक कोने को छूता है। वृत्त का केंद्र डोडेकेगन का केंद्र है, और चित्र के केंद्र से इसके प्रत्येक कोने तक की दूरी बस वृत्त की त्रिज्या है (आर)। आंकड़े के 12 पक्षों में से प्रत्येक समान लंबाई है, इसलिए इसे एस द्वारा निरूपित करें।

आपको एक और माप की आवश्यकता है, और प्रत्येक पक्ष के मध्य बिंदु से 12-पक्षीय आकार के केंद्र तक खींची गई लंबवत रेखा की लंबाई है। इस लाइन को एपोटेम के नाम से जाना जाता है। द्वारा इसकी लंबाई को निरूपित करें म। यह त्रिज्या लाइनों द्वारा गठित प्रत्येक खंड को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। तुम्हें पता नहीं है म, लेकिन आप इसे पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके पा सकते हैं।

12 त्रिज्या रेखाएं आपको उस चक्र को विभाजित करती हैं, जिसे आपने डोडेकेगन के चारों ओर 12 बराबर खंडों में विभाजित किया है, इसलिए आकृति के केंद्र में, प्रत्येक रेखा जिस कोण के बगल में है, वह 30 डिग्री है। त्रिज्या रेखाओं द्वारा गठित 12 खंडों में से प्रत्येक को कर्ण के साथ समकोण त्रिभुजों की एक जोड़ी से बनाया गया है आर और 15 डिग्री का एक कोण। कोण से सटा हुआ पक्ष है म, इसलिए आप इसे r और कोण की साइन का उपयोग करके पा सकते हैं।

sin (15) = म/आर, और के लिए हल म

म = आर × पाप (15)

अब आप प्रत्येक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल को डोडेकागन में उत्कीर्ण कर सकते हैं, क्योंकि आप आधार की लंबाई जानते हैं - जो है रों - और ऊंचाई, म। प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल 1/2 × आधार × ऊंचाई है

= 1/2 × रों × म

= 1/2 × (रों × आर × पाप (15)

ऐसे 12 खंड हैं, इसलिए नियमित 12-पक्षीय आकार के कुल क्षेत्रफल को खोजने के लिए 12 से गुणा करें:

नियमित डोडेकागन का क्षेत्रफल = 6 × (रों × आर × पाप (15)

अनियमित डोडेकागन के क्षेत्र का पता लगाना

एक अनियमित डोडेकेगन के क्षेत्र को खोजने के लिए कोई सूत्र नहीं है, क्योंकि पक्षों की लंबाई और कोण समान हैं। केंद्र को इंगित करना भी मुश्किल है। सबसे अच्छी रणनीति यह है कि आकृति को नियमित आकार में विभाजित करें, प्रत्येक के क्षेत्र की गणना करें और उन्हें जोड़ें।

यदि आकृति को एक ग्राफ पर प्लॉट किया गया है, और आप कोने के निर्देशांक जानते हैं, तो एक सूत्र है जिसका उपयोग आप क्षेत्र की गणना करने के लिए कर सकते हैं। यदि प्रत्येक बिंदु (n) द्वारा परिभाषित किया गया है (एक्स_n, y_n), और आप 12 बिंदुओं की एक श्रृंखला प्राप्त करने के लिए, दक्षिणावर्त या वामावर्त क्रम में आकृति के चारों ओर जाते हैं, क्षेत्र:

क्षेत्र = | (एक्स₁y₂ − y₁एक्स₂) + (एक्स₂y₃ − y₂एक्स₃) ... + (एक्स₁₁y₁₂ − y₁₁एक्स₁₂) +(एक्स₁₂y₁ − y₁₂एक्स₁)| ÷ 2.