विषय
समीकरण की प्रणालियों को हल करने के लिए आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली तीन विधियां प्रतिस्थापन, उन्मूलन और संवर्धित मैट्रिक्स हैं। प्रतिस्थापन और उन्मूलन सरल तरीके हैं जो कुछ समीकरणों में दो समीकरणों की अधिकांश प्रणालियों को प्रभावी ढंग से हल कर सकते हैं। संवर्धित मेट्रिसेस की विधि को अधिक चरणों की आवश्यकता होती है, लेकिन इसका अनुप्रयोग अधिक से अधिक प्रणालियों तक फैला हुआ है।
प्रतिस्थापन
प्रतिस्थापन, समीकरणों में से किसी एक में सभी चर को हटाकर और फिर उस समीकरण को हल करने की समीकरणों को हल करने की एक विधि है। यह एक समीकरण में दूसरे चर को अलग करके और फिर दूसरे चर में इन चर के लिए मूल्यों को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, समीकरण x + y = 4, 2x - 3y = 3 की प्रणाली को हल करने के लिए, x = 4 - y प्राप्त करने के लिए पहले समीकरण में चर x को अलग करें, फिर 2 के लिए y के इस मान को दूसरे समीकरण में स्थान दें। (4 - y) - 3y = 3. यह समीकरण -5y = -5 या y = 1. को सरल करता है। x: 1 + 4 = x या x = 3 का मान ज्ञात करने के लिए इस मान को दूसरे समीकरण में प्लग करें।
निकाल देना
उन्मूलन केवल एक चर के संदर्भ में समीकरणों में से एक को फिर से लिखकर समीकरणों के सिस्टम को हल करने का एक और तरीका है। किसी एक चर को रद्द करने के लिए उन्मूलन विधि एक दूसरे से समीकरणों को जोड़ या घटाकर इसे प्राप्त करती है। उदाहरण के लिए, समीकरणों को जोड़ते हुए x + 2y = 3 और 2x - 2y = 3 एक नए समीकरण को जन्म देता है, 3x = 6 (ध्यान दें कि y पद रद्द हो गए हैं)। तब प्रतिस्थापन के लिए उन्हीं विधियों का उपयोग करके सिस्टम को हल किया जाता है। यदि समीकरणों में चर को रद्द करना असंभव है, तो गुणांक को मैच करने के लिए एक कारक द्वारा पूरे समीकरण को गुणा करना आवश्यक होगा।
संवर्धित मैट्रिक्स
समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए संवर्धित मेट्रिसेस का भी उपयोग किया जा सकता है। संवर्धित मैट्रिक्स में प्रत्येक समीकरण के लिए पंक्तियाँ, प्रत्येक चर के लिए कॉलम और समीकरण के दूसरी तरफ स्थिर शब्द होता है। उदाहरण के लिए, समीकरण 2x + y = 4, 2x - y = 0, ...] की प्रणाली के लिए संवर्धित मैट्रिक्स।
समाधान का निर्धारण
अगले चरण में प्राथमिक पंक्ति संचालन का उपयोग करना शामिल है जैसे कि एक पंक्ति को शून्य के अलावा किसी अन्य द्वारा गुणा या विभाजित करना और पंक्तियों को जोड़ना या घटाना। इन परिचालनों का लक्ष्य मैट्रिक्स को रो-इचेलॉन रूप में परिवर्तित करना है, जिसमें प्रत्येक पंक्ति में पहली गैर-शून्य प्रविष्टि 1 है, इस प्रविष्टि के ऊपर और नीचे की प्रविष्टियाँ सभी शून्य हैं, और प्रत्येक के लिए पहली गैर-शून्य प्रविष्टि है पंक्ति हमेशा ऊपर की पंक्तियों में ऐसी सभी प्रविष्टियों के दाईं ओर होती है। उपरोक्त मैट्रिक्स के लिए रो-इचेलॉन रूप है, ...]। पहले चर का मान पहली पंक्ति (1x + 0y = 1 या x = 1) द्वारा दिया गया है। दूसरी चर का मान दूसरी पंक्ति (0x + 1y = 2 या y = 2) द्वारा दिया गया है।
अनुप्रयोग
प्रतिस्थापन और उन्मूलन समीकरणों को हल करने के सरल तरीके हैं और बुनियादी बीजगणित में संवर्धित मैट्रिक्स की तुलना में बहुत अधिक बार उपयोग किए जाते हैं। प्रतिस्थापन विधि विशेष रूप से उपयोगी होती है जब चर में से एक समीकरण में से एक में पहले से ही अलग हो जाता है। जब सभी चर में से कोई एक चर (या उसके नकारात्मक समतुल्य) का गुणांक समान हो, तो उन्मूलन विधि उपयोगी होती है। संवर्धित मेट्रिसेस का प्राथमिक लाभ यह है कि इसका उपयोग उन स्थितियों में तीन या अधिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जहां प्रतिस्थापन या उन्मूलन या तो अप्रभावी या असंभव हैं।