निरपेक्ष मूल्य असमानताओं को कैसे हल करें

विषय

• निरपेक्ष मूल्य असमानता की परिभाषा
• कैसे एक निरपेक्ष मूल्य असमानता को हल करने के लिए
• कोई समाधान नहीं के साथ पूर्ण मूल्य असमानता
• मध्यवर्ती टिप्पणी

पूर्ण मूल्य असमानताओं को हल करना पूर्ण मूल्य समीकरणों को हल करने की तरह है, लेकिन ध्यान में रखने के लिए कुछ अतिरिक्त विवरण हैं। यह पहले से ही पूर्ण मूल्य समीकरणों को हल करने में आरामदायक होने में मदद करता है, लेकिन अगर आप उन्हें एक साथ भी सीख रहे हैं तो यह ठीक है!

निरपेक्ष मूल्य असमानता की परिभाषा

सबसे पहले, ए पूर्ण मूल्य असमानता एक असमानता है जिसमें एक निरपेक्ष मूल्य अभिव्यक्ति शामिल है। उदाहरण के लिए,

| 5 + एक्स | - 10> 6 एक पूर्ण मूल्य असमानता है क्योंकि इसमें असमानता का संकेत है,>, और एक निरपेक्ष मूल्य अभिव्यक्ति है, | 5 + एक्स |.

कैसे एक निरपेक्ष मूल्य असमानता को हल करने के लिए

एक निरपेक्ष मूल्य असमानता को हल करने के लिए कदम एक निरपेक्ष मूल्य समीकरण को हल करने के चरणों की तरह हैं:

चरण 1: असमानता के एक तरफ निरपेक्ष मूल्य अभिव्यक्ति को अलग करें।

चरण 2: असमानता के सकारात्मक "संस्करण" को हल करें।

चरण 3: असमानता के दूसरी तरफ मात्रा को the1 से गुणा करके और असमानता संकेत को फ़्लिप करके असमानता के नकारात्मक "संस्करण" को हल करें।

एक बार में सभी लेने के लिए बहुत कुछ है, इसलिए एक उदाहरण है जो आपको कदमों के माध्यम से चलेगा।

के लिए असमानता को हल करें एक्स: | 5 + 5_x_ | - 3> 2।

ऐसा करने के लिए, जाओ | 5 + 5_x_ | असमानता के बाईं ओर खुद के द्वारा। आपको बस प्रत्येक पक्ष में 3 जोड़ना है:

| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)

| 5 + 5_x_ | > ५।

अब असमानता के दो "संस्करण" हैं जिन्हें हमें हल करने की आवश्यकता है: सकारात्मक "संस्करण" और नकारात्मक "संस्करण।"

इस चरण के लिए, अच्छी तरह से मान लें कि चीजें वैसी ही हैं जैसी वे दिखाई देती हैं: कि 5 + 5_x_> 5।

| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5।

यह एक साधारण असमानता है; आपको बस हल करना है एक्स हमेशा की तरह। 5 को दोनों ओर से घटाएं, फिर दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करें।

5 + 5_x_> 5

5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (दोनों ओर से पाँच घटाएँ)

५_x_> ०

5_x_ () 5)> 0 ((5) (दोनों पक्षों को पाँच से भाग दें)

एक्स > 0.

बुरा नहीं! तो हमारी असमानता का एक संभावित समाधान यही है एक्स > 0. अब, क्योंकि इसमें पूर्ण मूल्य शामिल हैं, इसका समय एक और संभावना पर विचार करता है।




इस अगले बिट को समझने के लिए, यह याद रखने में मदद करता है कि निरपेक्ष मूल्य का मतलब क्या है। निरपेक्ष मूल्य शून्य से दूरी की संख्या मापता है। दूरी हमेशा सकारात्मक होती है, इसलिए 9 शून्य से नौ यूनिट दूर है, लेकिन also9 भी शून्य से नौ यूनिट दूर है।

तो | 9 | = 9, लेकिन | −9 | = 9 भी।

अब वापस ऊपर की समस्या पर। ऊपर के काम से पता चला है कि | 5 + 5_x_ | > 5; दूसरे शब्दों में, "कुछ" का पूर्ण मूल्य पांच से अधिक है। अब, पाँच से बड़ा कोई भी धनात्मक संख्या शून्य से पाँच से दूर होने जा रही है। तो पहला विकल्प यह था कि "कुछ," 5 + 5_x_, 5 से बड़ा है।

वह है: 5 + 5_x_> 5।

परिदृश्य 2 से ऊपर, चरण 2 में दिखाया गया है।

अब थोड़ा और सोचिए। शून्य से पाँच इकाई और क्या है? खैर, नकारात्मक पाँच है। और नकारात्मक पांच से संख्या रेखा के साथ कुछ और आगे भी शून्य से दूर होने जा रहा है। तो हमारा "कुछ" नकारात्मक संख्या की तुलना में शून्य से दूर एक नकारात्मक संख्या हो सकता है। इसका मतलब है कि यह एक बड़ा-साउंडिंग नंबर होगा, लेकिन तकनीकी रूप से से कम ऋणात्मक पाँच क्योंकि संख्या रेखा पर ऋणात्मक दिशा में उसका बढ़ना।

तो हमारा "कुछ," 5 + 5x, −5 से कम हो सकता है।

5 + 5_x_ <.5

इस बीजगणितीय रूप से करने का त्वरित तरीका असमानता के दूसरी तरफ मात्रा को 5 से गुणा करना है, नकारात्मक एक से, फिर असमानता का संकेत फ्लिप करें:

| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5

फिर हमेशा की तरह हल करें।

5 + 5_x_ <-5

5 + 5_x_ (−5) <--5 (- 5) (दोनों ओर से 5 घटाएँ)

5_x_ <−10

5_x_ (÷ 5) <÷10 () 5)

एक्स < −2.

तो असमानता के दो संभावित समाधान हैं एक्स > 0 या एक्स <−2। सुनिश्चित करें कि असमानता अभी भी सच है, यह सुनिश्चित करने के लिए कुछ संभव समाधानों में प्लगिंग करके अपने आप को जांचें।

कोई समाधान नहीं के साथ पूर्ण मूल्य असमानता

वहाँ एक परिदृश्य है जहाँ होगा पूर्ण मूल्य असमानता का कोई समाधान नहीं। चूंकि निरपेक्ष मूल्य हमेशा सकारात्मक होते हैं, वे नकारात्मक संख्याओं के बराबर या उससे कम नहीं हो सकते।

तो | एक्स | <Has2 है कोई हल नहीं क्योंकि एक निरपेक्ष मूल्य अभिव्यक्ति का परिणाम सकारात्मक होना चाहिए।

मध्यवर्ती टिप्पणी

में हमारे मुख्य उदाहरण के लिए समाधान लिखने के लिए मध्यवर्ती टिप्पणी, संख्या रेखा पर समाधान कैसे दिखता है, इसके बारे में सोचें। हमारा समाधान था एक्स > 0 या एक्स <−2। संख्या रेखा पर, 0 पर एक खुली बिंदु को, सकारात्मक अनंत को बाहर निकालने वाली रेखा के साथ, और dot2 पर एक खुली बिंदु को, नकारात्मक अनंत तक फैली हुई रेखा के साथ एक ओपन डॉट को thats। ये समाधान एक दूसरे से दूर की ओर इशारा करते हैं, एक दूसरे की ओर नहीं, इसलिए प्रत्येक टुकड़े को अलग-अलग लें।

एक संख्या रेखा पर x> 0 के लिए, एक खुली बिंदी को शून्य पर और उसके बाद अनंत तक फैली एक रेखा के साथ। अंतराल संकेतन में, एक ओपन डॉट को कोष्ठक, (), और एक बंद डॉट, या al या ≤ के साथ असमानताओं के साथ चित्रित किया गया है, कोष्ठक का उपयोग करेगा। के लिए एक्स > 0, लिखें (0, 0)।

दूसरा भाग, एक्स <<2, एक संख्या रेखा पर then2 पर एक खुली बिंदी होती है और फिर एक तीर −∞ तक सभी तरह से फैलता है। अंतराल संकेतन में, दैट्स (−∞, ,2)।

"या" अंतराल संकेतन में संघ संकेत है, val।

तो अंतराल संकेतन में समाधान (solution, )2) 0 (0, val) है।