विषय
- एक ढलान के रूप में व्युत्पन्न
- एक शक्ति समारोह की व्युत्पत्ति
- पावर सीरीज से व्युत्पन्न
- टेबल्स से डेरिवेटिव
पथरी में आपके द्वारा किए जाने वाले महत्वपूर्ण कार्यों में से एक है डेरिवेटिव्स का पता लगाना। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को उस फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर भी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि x (t) किसी भी समय t पर कार की स्थिति है, तो x का व्युत्पन्न, जिसे dx / dt लिखा जाता है, कार का वेग है। इसके अलावा, व्युत्पन्न को किसी फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए स्पर्श रेखा की ढलान के रूप में देखा जा सकता है। एक सैद्धांतिक स्तर पर, यह है कि गणितज्ञों को डेरिवेटिव कैसे मिलते हैं। व्यवहार में, गणितज्ञ बुनियादी नियमों और लुकअप टेबल के सेट का उपयोग करते हैं।
एक ढलान के रूप में व्युत्पन्न
दो बिंदुओं के बीच एक रेखा का ढलान y मानों में अंतर, रन द्वारा विभाजित मान या x मानों में अंतर है। X के एक निश्चित मान के लिए एक फ़ंक्शन y (x) की ढलान को उस रेखा की ढलान के रूप में परिभाषित किया गया है जो बिंदु पर फ़ंक्शन के लिए स्पर्शरेखा है। ढलान की गणना करने के लिए आप बिंदु और पास के बिंदु के बीच एक रेखा का निर्माण करते हैं, जहां h एक बहुत छोटी संख्या है। इस पंक्ति के लिए, x मान में परिवर्तन, या परिवर्तन h है, और y मान में वृद्धि या परिवर्तन, y (x + h) - y (x) है। नतीजतन, बिंदु पर y (x) का ढलान लगभग / = / h के बराबर है। ढलान को ठीक से प्राप्त करने के लिए, आप ढलान के मूल्य की गणना करते हैं क्योंकि एच छोटे और छोटे हो जाता है, "सीमा" पर जहां यह शून्य हो जाता है। इस तरह से गणना की गई ढलान y (x) का व्युत्पन्न है, जिसे y '(x) या डाई / dx लिखा जाता है।
एक शक्ति समारोह की व्युत्पत्ति
आप कार्यों के डेरिवेटिव की गणना करने के लिए ढलान / सीमा पद्धति का उपयोग कर सकते हैं जहां y एक, या y (x) = x ^ a की शक्ति के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, यदि y x xed, y (x) = x ^ 3 के बराबर है, तो डाई / dx की सीमा है, जैसे h / h के शून्य पर जाता है। विस्तार (x + h) ^ 3 देता है / h, जो h से विभाजित करने के बाद 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 तक कम हो जाता है। जिस सीमा में h शून्य पर जाता है, उसमें h के सभी शब्द भी शून्य हो जाते हैं। तो, y '(x) = डाई / dx = 3x ^ 2। आप इसे 3 के अलावा अन्य के मानों के लिए कर सकते हैं, और सामान्य तौर पर, आप उस d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1) को दिखा सकते हैं।
पावर सीरीज से व्युत्पन्न
कई कार्यों को लिखा जा सकता है जिन्हें पावर सीरीज़ कहा जाता है, जो एक अनंत संख्या शब्दों का योग होता है, जहां प्रत्येक फॉर्म C (n) x ^ n, जहां x एक चर है, n एक पूर्णांक और C है ( n) n के प्रत्येक मान के लिए एक विशिष्ट संख्या है। उदाहरण के लिए, साइन फंक्शन के लिए पावर सीरीज़ सिन (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ... है, जहाँ "..." का अर्थ है कि शब्दों को जारी रखना अनन्त तक। यदि आप किसी फ़ंक्शन के लिए पावर श्रृंखला जानते हैं, तो आप फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए पावर x ^ n के व्युत्पन्न का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, पाप (x) का व्युत्पन्न 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ... के बराबर होता है, जो कि Cos (x) के लिए शक्ति श्रृंखला होता है।
टेबल्स से डेरिवेटिव
एक्स ^ ए, एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शंस, लॉग फ़ंक्शंस और ट्रिग फ़ंक्शंस जैसी शक्तियाँ जैसे मूल फ़ंक्शंस का ढलान ढलान / सीमा पद्धति, पावर सीरीज़ विधि या अन्य तरीकों का उपयोग करके पाया जाता है। ये डेरिवेटिव तब तालिकाओं में सूचीबद्ध होते हैं। उदाहरण के लिए, आप देख सकते हैं कि पाप (x) का व्युत्पन्न Cos (x) है। जब जटिल कार्य बुनियादी कार्यों के संयोजन होते हैं, तो आपको विशेष नियमों की आवश्यकता होती है जैसे श्रृंखला नियम और उत्पाद नियम, जो कि तालिकाओं में भी दिए गए हैं। उदाहरण के लिए, आप चेन नियम का उपयोग यह जानने के लिए करते हैं कि पाप का व्युत्पन्न (x ^ 2) 2xCos (x ^ 2) है। आप यह जानने के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करते हैं कि xSin (x) का व्युत्पन्न xCos (x) + Sin (x) है। तालिकाओं और सरल नियमों का उपयोग करके, आप किसी भी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पा सकते हैं। लेकिन जब कोई फ़ंक्शन बेहद जटिल होता है, तो वैज्ञानिक कभी-कभी मदद के लिए कंप्यूटर प्रोग्राम का सहारा लेते हैं।