दो नंबर का सबसे बड़ा सामान्य कारक कैसे खोजें

विषय

• एक कारक क्या है?
• सबसे बड़ा सामान्य कारक खोजना: विधि एक
• सबसे बड़ा सामान्य कारक खोजना: विधि दो
• सामान्य कारकों के साथ भिन्नों को सरल बनाना

गणित में कई स्थितियों में दो संख्याओं में से सबसे बड़ा सामान्य कारक या GCF को खोजना उपयोगी है, लेकिन विशेष रूप से जब यह भिन्नों को सरल बनाने की बात आती है। यदि आप इससे जूझ रहे हैं या सामान्य हरकतों को खोज रहे हैं, तो सामान्य कारकों को खोजने के लिए दो तरीके सीखने से आपको वह हासिल करने में मदद मिलेगी जो आप करना चाहते हैं। सबसे पहले, हालांकि, कारकों की मूल बातें जानने के लिए यह एक अच्छा विचार है; फिर, आप सामान्य कारकों को खोजने के लिए दो दृष्टिकोण देख सकते हैं। अंत में, आप एक अंश को सरल बनाने के लिए अपने ज्ञान को लागू करने के तरीके को देख सकते हैं।

एक कारक क्या है?

कारक वे संख्याएँ हैं, जिन्हें आप एक और संख्या बनाने के लिए एक साथ गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए, 2 और 3 6 के कारक हैं, क्योंकि 2 × 3 = 6. इसी प्रकार, 3 और 3 9 के कारक हैं, क्योंकि 3 × 3 = 9. जैसा कि आप जानते हैं, अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनके अलावा कोई कारक नहीं होता है स्वयं और 1. तो 3 एक अभाज्य संख्या है, क्योंकि केवल दो पूरे संख्याएँ (पूर्णांक) जो एक उत्तर के रूप में 3 देने के लिए एक साथ गुणा कर सकते हैं 3 और 1. उसी तरह, 7 एक अभाज्य संख्या है, और इसलिए 13 है ।

इस कारण, यह अक्सर "प्रमुख कारकों" में एक संख्या को तोड़ने में मददगार होता है। इसका अर्थ है किसी अन्य संख्या के सभी अभाज्य संख्या कारकों को खोजना। यह मूल रूप से संख्या को अपने मूलभूत "बिल्डिंग ब्लॉक्स" में तोड़ देता है, जो दो नंबरों के सबसे बड़े सामान्य कारक को खोजने की दिशा में एक उपयोगी कदम है और वर्गमूल को सरल बनाने के लिए भी यह अमूल्य है।

सबसे बड़ा सामान्य कारक खोजना: विधि एक

दो नंबरों के सबसे बड़े सामान्य कारक को खोजने के लिए सबसे सरल विधि यह है कि प्रत्येक संख्या के सभी कारकों को सूचीबद्ध करें और उन दोनों को साझा करने वाली उच्चतम संख्या देखें। कल्पना करें कि आप 45 और 60 का उच्चतम सामान्य कारक ढूंढना चाहते हैं। सबसे पहले, उन विभिन्न संख्याओं को देखें जिन्हें आप 45 का उत्पादन करने के लिए एक साथ गुणा कर सकते हैं।

शुरू करने का सबसे आसान तरीका उन दो के साथ है जो आप जानते हैं कि एक प्रमुख संख्या के लिए भी काम करेंगे। इस मामले में, हम 1 × 45 = 45 जानते हैं, इसलिए हम जानते हैं कि 1 और 45 45 के कारक हैं। ये 45 के पहले और अंतिम कारक हैं, इसलिए आप बस वहां से भर सकते हैं। अगला, पता लगाएँ कि क्या 2 एक कारक है। यह आसान है, क्योंकि कोई भी संख्या 2 से विभाज्य होगी, और कोई भी विषम संख्या नहीं होगी। तो हम जानते हैं कि 2 45 का कारक नहीं है। 3 के बारे में क्या? आपको यह पता लगाने में सक्षम होना चाहिए कि 3 45 का कारक है, क्योंकि 3 × 15 = 45 (आप हमेशा इस पर निर्माण कर सकते हैं कि आप इसे क्या काम करना जानते हैं, उदाहरण के लिए, आप जानेंगे कि 3 × 12 = 36, और जोड़कर इस के लिए थ्रेड्स आपको 45 तक ले जाते हैं)

अगला, 4 45 का कारक है? नहीं - आप 11 × 4 = 44 जानते हैं, इसलिए यह नहीं हो सकता है! अगला, 5 के बारे में क्या? यह एक और आसान है, क्योंकि 0 या 5 में समाप्त होने वाली कोई भी संख्या 5 से विभाज्य है। और इसके साथ ही, आप आसानी से 5 × 9 = 45 देख सकते हैं। लेकिन 6 अच्छा नहीं है क्योंकि 7 × 6 = 42 और 8 × 6 = 48. इससे आप यह भी देख सकते हैं कि 7 और 8 45 के कारक नहीं हैं। हम पहले से ही 9 जानते हैं, और यह देखना आसान है कि 10 और 11 कारक नहीं हैं। इस प्रक्रिया को जारी रखें, और आपको पता चलेगा कि 15 एक कारक है, लेकिन और कुछ नहीं है।

तो 45 के कारक हैं: 1, 3, 5, 9, 15 और 45।

60 के लिए, आप उसी प्रक्रिया से गुजरते हैं। इस बार संख्या सम है (इसलिए आप जानते हैं कि 2 एक कारक है) और 10 से विभाज्य है (इसलिए 5 और 10 दोनों कारक हैं), जिससे चीजें थोड़ी आसान हो जाती हैं। फिर से प्रक्रिया से गुजरने के बाद, आपको यह देखना चाहिए कि 60 के कारक हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 और 60।

दो सूचियों की तुलना करने से पता चलता है कि 15 45 और 60 का सबसे बड़ा सामान्य कारक है। यह विधि समय लेने वाली हो सकती है, लेकिन यह सरल है और यह हमेशा काम करेगी। आप किसी भी उच्च सामान्य कारक पर भी शुरुआत कर सकते हैं, जिसे आप तुरंत दूर कर सकते हैं, और फिर प्रत्येक संख्या के उच्च कारकों को देख सकते हैं।

सबसे बड़ा सामान्य कारक खोजना: विधि दो

दो कारकों के लिए जीसीएफ खोजने की दूसरी विधि प्रधान कारकों का उपयोग करना है। प्राइम फैक्टराइजेशन की प्रक्रिया हर कारक को खोजने की तुलना में थोड़ी आसान और अधिक संरचित है। 42 और 63 के लिए प्रक्रिया से गुजरते हैं।

अभाज्य गुणनखंडन की प्रक्रिया में मूल रूप से संख्या को तोड़ना शामिल है जब तक कि आप केवल प्रमुख संख्याओं के साथ नहीं रहते। सबसे छोटे प्राइम (दो) से शुरुआत करना और वहां से काम करना सबसे अच्छा है। तो 42 के लिए, यह देखना आसान है कि 2 × 21 = 42. फिर 21 से काम करें: 2 एक कारक है? नंबर 3 है? हाँ! 3 × 7 = 21, और 3 और 7 दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं। इसका मतलब यह है कि 42 के प्रमुख कारक 2, 3 और 7 हैं। पहले "ब्रेक" का इस्तेमाल 21 को पाने के लिए 2 का किया गया था, और दूसरे ने इसे 3 और 7 में तोड़ दिया। आप इसे अपने सभी कारकों को एक साथ गुणा करके और जाँच कर सकते हैं आपको मूल संख्या मिलती है: 2 × 3 × 7 = 42।

63 के लिए, 2 एक कारक नहीं है, लेकिन 3 है, क्योंकि 3 × 21 = 63. फिर, 21 3 और 7 में टूट जाता है - दोनों ही प्राइम - तो आप प्रमुख कारकों को जानते हैं! जाँच से पता चलता है कि 3 × 3 × 7 = 63, आवश्यकतानुसार।

आप यह देखते हुए उच्चतम कारक पाते हैं कि दोनों संख्याओं में कौन से प्रमुख कारक हैं। इस मामले में, 42 में 2, 3 और 7 हैं, और 63 में 3, 3 और 7 हैं। उनके पास 3 और 7 आम हैं। उच्चतम सामान्य कारक को खोजने के लिए, सभी सामान्य अभाज्य कारकों को एक साथ गुणा करें। इस मामले में, 3 × 7 = 21, इसलिए 21 42 और 63 का सबसे बड़ा सामान्य कारक है।

पिछले उदाहरण को इस तरह से और भी जल्दी हल किया जा सकता है। क्योंकि 45 तीन (3 × 15 = 45) से विभाज्य है, और 15 भी तीन (3 × 5 = 15) से विभाज्य है, 45 के मुख्य कारक 3, 3 और 5 हैं। 60 के लिए, यह दो (2) से विभाज्य है × 30 = 60), 30 दो (साथ ही 2 × 15 = 30) से विभाज्य है, और फिर आप 15 के साथ छोड़ दिए जाते हैं, जिसे हम जानते हैं कि तीन और पांच प्रमुख कारक हैं, 2, 2, 3 और 5 छोड़कर। दो सूचियों की तुलना में, तीन और पांच सामान्य प्रमुख कारक हैं, इसलिए सबसे बड़ा सामान्य कारक 3 × 5 = 15 है।

इस घटना में कि तीन या अधिक सामान्य कारक हैं, आप सबसे बड़े सामान्य कारक को खोजने के लिए उन सभी को एक ही तरह से गुणा करते हैं।

सामान्य कारकों के साथ भिन्नों को सरल बनाना

यदि आप 32/96 की तरह एक अंश के साथ प्रस्तुत किए गए हैं, तो यह किसी भी गणना कर सकता है जो इसके बाद बहुत जटिल हो जाता है जब तक कि आप अंश को सरल बनाने का कोई तरीका नहीं निकाल सकते। 32 और 96 के सबसे कम सामान्य कारक को खोजने से आपको सरल अंश प्राप्त करने के लिए दोनों को विभाजित करने की संख्या बताएगी। इस मामले में:

32 = 2 × 16

16 = 2 × 2 × 2 × 2

तो 32 = 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2

96 के लिए, प्रक्रिया देती है:

96 = 48 × 2

48 = 24 × 2

24 = 12 × 2

12 = 6 × 2

6 = 3 × 2

तो 96 = 2⁵ × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

यह स्पष्ट होना चाहिए कि 2⁵ = 32 उच्चतम सामान्य कारक है। अंश के दोनों भागों को 32 से विभाजित करने पर यह मिलता है:

32/96 = 1/3

आम भाजक खोजना एक समान प्रक्रिया है। कल्पना करें कि आपको 15/45 और 40/60 अंश जोड़ना था। हम पहले उदाहरण से जानते हैं कि 15 45 और 60 का उच्चतम सामान्य कारक है, इसलिए हम तुरंत उन्हें 5/15 और 10/15 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। चूंकि 3 × 5 = 15, और दोनों संख्यात्मक भी पांच से विभाज्य हैं, इसलिए हम दोनों अंशों के दोनों भागों को 1/3 और 2/3 प्राप्त करने के लिए पांच से विभाजित कर सकते हैं। अब उन्हें जोड़ना और देखना बहुत आसान है कि 15/45 + 40/60 = 1।