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प्राथमिक विद्यालय के गणित में, जब छात्र सरल रेखीय कार्यों को रेखांकन करना सीखते हैं, तो उन्हें एक की अवधारणा से परिचित कराया जाता है ढाल.
एक रेखीय फलन किसी एक ग्राफ के साथ होता है जिसे किसी प्रकार की एक सीधी रेखा द्वारा दर्शाया जाता है, जिसके संबंध में इसका स्थान और दिशा होती है एक्स- तथा yकार्य गुणों के आधार पर -axes।
एक रेखीय समीकरण का रूप है
y = mx + bकहाँ पे y आश्रित चर है, म ढलान है, और ख एक मात्रा है जिसे कहा जाता है y-बाहर, बिंदु पर लाइन पार कर जाता है y-एक्सिस।
लेकिन आपने एक गणितीय निर्माण के बारे में भी सुना होगा जिसे a कहा जाता है ग्रेड, या एक प्रतिशत ग्रेड। "ढलान अनुपात" और "ढलान के ग्रेड" जैसे अस्पष्ट, अस्पष्ट शब्द न मदद करते हैं।
ढलान और ग्रेड संबंधित हैं? वे वास्तव में हैं, और दोनों गणित और इंजीनियरिंग में अपरिहार्य हैं।
ढलान क्या है?
रोजमर्रा के संदर्भ में, एक ढलान एक स्थिर, निरंतर चढ़ाई या वंश है। यह गणित में भी इसका क्या अर्थ है, लेकिन अधिक औपचारिक तरीके से। एक पंक्ति का ढलान क्षैतिज (x) दूरी में एक-इकाई परिवर्तन के अनुसार ऊर्ध्वाधर (y) दूरी में परिवर्तन है।
उदाहरण के लिए, यदि एक समन्वय प्रणाली में एक बिंदु सकारात्मक में 11 इकाइयों को स्थानांतरित करता है एक्स-अभियोजन और नकारात्मक में चार इकाइयां y-निर्देशन, ढलान है (-4) / (11) = –0.364। माइनस साइन का अर्थ है क्षैतिज के संबंध में लाइन कोण "डाउनहिल" एक्स-एक्सिस।
फ़ंक्शन जैसी एक क्षैतिज रेखा y = 5, जिसमें कोई ऊर्ध्वाधर परिवर्तन नहीं है, में 0 की ढलान है। एक ऊर्ध्वाधर रेखा, जैसे कि एक्स = −3, एक अपरिभाषित ढलान है जैसा कि कोई क्षैतिज परिवर्तन नहीं है और गणित में शून्य से विभाजित करने की अनुमति नहीं है।
द पॉइंट-स्लोप फॉर्मूला
बिंदु-ढलान सूत्र एक रेखा के समीकरण को निर्धारित करने के लिए सहायक होता है जब दो बिंदु या एक बिंदु और ढलान ज्ञात होते हैं। इसका रूप है
y - y_0 = m (x - x_0)यदि आपको निर्देशांक (12, were7) दिए गए थे और बताया गया था कि फ़ंक्शन के ग्राफ में 1.25 की ढलान है, तो आप सामान्य समीकरण निर्धारित कर सकते हैं:
(y - (y7)) = 1.25 (x - 12) (y + 7) = 1.25x =15 y = 1.25x - 22प्रतिशत ग्रेड
ग्रेड, या प्रतिशत ग्रेड, बस ढलान को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसका उपयोग अक्सर वास्तविक जीवन की स्थितियों में किया जाता है, जिसमें सड़कों का निर्माण शामिल होता है, जिनमें से बहुत ही आश्चर्यजनक रूप से कम ढलान के मूल्य होते हैं।
उदाहरण के लिए, पूर्वी अमेरिका में पेन्सिलवेनिया टर्नपाइक की अधिकतम ढलान 0.03 है, जिसका अर्थ है कि यह किसी भी खंड पर यात्रा करने वाले प्रत्येक 100 क्षैतिज पैरों के लिए 3 फीट से अधिक नहीं बढ़ता या गिरता है। इस उदाहरण में प्रतिशत ग्रेड 100 × 0.03 = 3 प्रतिशत है।
त्रिकोणमिति में, y/एक्स, या "रन पर वृद्धि," आरोही या अवरोही रेखा और क्षैतिज द्वारा गठित कोण की स्पर्शरेखा भी है। इसका मतलब है कि उलटा स्पर्श (तन −1 या ढलान के एक कैलकुलेटर पर) इस कोण के बराबर होता है।
ढलान दूरी कैलकुलेटर
यदि आप एक रेखा के ढलान को जानते हैं, तो आप ऊर्ध्वाधर दूरी के एक फ़ंक्शन के रूप में यात्रा की जाने वाली क्षैतिज दूरी की गणना कर सकते हैं, या दूसरे तरीके से कर सकते हैं। मान लीजिए कि आप जानते हैं कि आप 4 प्रतिशत ग्रेड तक चलते हैं। यदि आप 30 मिनट तक चलते हैं और आपकी क्षैतिज स्थिति 4 मील प्रति घंटे की दर से बदलती है, तो आपने कितनी ऊंचाई हासिल की है?
30 मिनट (1/2 घंटा) के लिए 4 मील प्रति घंटे 2 मील है, और प्रतिशत ग्रेड 4 है, तो ढलान 4/100 = 0.04 है। चूंकि ढलान रन से अधिक है और इस मामले में "रन" 2 मील है, इसलिए ऊर्ध्वाधर लाभ निम्नानुसार पाया जा सकता है:
start {align} 0.04 & = frac {y} {2 ; {मील}} y & = 0.04 × 2 & = 0.08 ; {मील, या के बारे में} & 0.08 ; ; {{mi} × 5,280 ; {ft / mi} = 422 ; {ft} end {संरेखित}