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कभी-कभी "घातीय वृद्धि" केवल भाषण का एक आंकड़ा है, किसी भी चीज का संदर्भ जो अनुचित रूप से या अविश्वसनीय रूप से जल्दी से बढ़ता है। लेकिन कुछ मामलों में, आप घातीय वृद्धि का विचार शाब्दिक रूप से ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, खरगोशों की एक आबादी तेजी से बढ़ सकती है क्योंकि प्रत्येक पीढ़ी का प्रसार होता है, फिर उनकी संतानों का प्रसार, और इसी तरह। व्यावसायिक या व्यक्तिगत आय तेजी से बढ़ सकती है। जब आप घातीय वृद्धि की वास्तविक दुनिया की गणना करने के लिए कहते हैं, तो आप सूचना के तीन टुकड़ों के साथ काम करेंगे: मूल्य, विकास की दर (या क्षय), और समय।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; डिडंट रीड)
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; डिडंट रीड)
घातीय वृद्धि की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें y(टी) = a__ekt, कहाँ पे ए शुरू में मूल्य है, क विकास की दर या क्षय है, टी समय है और y(टी) समय पर आबादी मूल्य है टी.
घातीय वृद्धि दर की गणना कैसे करें
कल्पना कीजिए कि एक वैज्ञानिक जीवाणुओं की एक नई प्रजाति के विकास का अध्ययन कर रहा है। हालांकि वह एक जनसंख्या वृद्धि कैलकुलेटर में शुरुआती मात्रा, विकास की दर और समय के मूल्यों को इनपुट कर सकता है, लेकिन संकोच ने बैक्टीरिया की आबादी की दर को मैन्युअल रूप से गणना करने का फैसला किया।
अपने सावधानीपूर्वक रिकॉर्डों को देखते हुए, वैज्ञानिक देखता है कि उसकी शुरुआती आबादी 50 बैक्टीरिया थी। पांच घंटे बाद, उन्होंने 550 बैक्टीरिया को मापा।
घातीय वृद्धि या क्षय के समीकरण में वैज्ञानिकों की जानकारी इनपुट करना, y(टी) = a__ekt, वह रखता है:
550 = 50_ ईक_5
समीकरण में एकमात्र अज्ञात बचा है क, या घातीय वृद्धि की दर।
के लिए हल शुरू करने के लिए क, पहले समीकरण के दोनों पक्षों को 50 से विभाजित करें। यह आपको देता है:
550/50 = (50_e)क_5) / 50, जो सरल करता है:
11 = इ_k_5
अगला, दोनों पक्षों के प्राकृतिक लघुगणक को लें, जो ln के रूप में अंकित नहीं है (एक्स)। यह आपको देता है:
ln (11) = ln (इ_k_5)
प्राकृतिक लघुगणक का उलटा कार्य है इएक्स, तो यह प्रभावी रूप से "अनडू" करता है इएक्स समीकरण के दाईं ओर कार्य करता है, आपको छोड़कर:
ln (11) = _k_5
अगला, चर को अलग करने के लिए दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करें, जो आपको देता है:
क = एलएन (11) / 5
अब आप जानते हैं कि बैक्टीरिया की इस आबादी के लिए घातीय वृद्धि की दर: क = एलएन (11) / 5। यदि आप इस जनसंख्या के साथ आगे की गणना करने जा रहे हैं - उदाहरण के लिए, विकास की दर को समीकरण में प्लग करना और जनसंख्या के आकार का अनुमान लगाना टी = 10 घंटे - इस रूप में जवाब छोड़ने के लिए इसका सबसे अच्छा है। लेकिन अगर आप आगे की गणना नहीं कर रहे हैं, तो आप 0.479579 का अनुमानित मूल्य प्राप्त करने के लिए उस मूल्य को एक घातीय फ़ंक्शन कैलकुलेटर - या आपके वैज्ञानिक कैलकुलेटर में इनपुट कर सकते हैं। आपके प्रयोग के सटीक मापदंडों के आधार पर, आप गणना या अंकन में आसानी के लिए 0.48 / घंटा तक चक्कर लगा सकते हैं।